$\int \frac{1}{x}dx=?$

বিস্তারিত সমাধান:

গণিতের মৌলিক সূত্র অনুযায়ী, \( \frac{1}{x} \) এর ইন্টিগ্রাল (Integral) বা সমাকলন হলো প্রাকৃতিক লগারিদম (Natural Logarithm) \( \ln|x| \)।

অর্থাৎ, \( \int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + c \)

এখানে,

    
• \( \int \) হলো ইন্টিগ্রেশন চিহ্ন।
    
• \( \frac{1}{x} \) হলো ফাংশন যার ইন্টিগ্রাল নির্ণয় করতে হবে।
    
• \( dx \) নির্দেশ করে যে ইন্টিগ্রেশনটি \( x \) এর সাপেক্ষে করা হচ্ছে।
    
• \( \ln \) হলো প্রাকৃতিক লগারিদম (logarithm to the base \( e \))।
    
• \( |x| \) ব্যবহার করা হয় কারণ লগারিদম কেবল ধনাত্মক সংখ্যার জন্য সংজ্ঞায়িত। \( x \) এর মান ধনাত্মক বা ঋণাত্মক যাই হোক না কেন, \( |x| \) সর্বদা ধনাত্মক হবে।
    
• \( c \) হলো সমাকলন ধ্রুবক (Constant of Integration)। এটি ব্যবহার করা হয় কারণ একটি ফাংশনের ইন্টিগ্রাল নির্ণয় করার সময় একটি অনির্দিষ্ট ধ্রুবক যুক্ত হয়।

অন্যান্য অপশনগুলো ভুল কারণ:

    
• অপশন 2 (\( \log_{10}x + c \)): এটি সাধারণ লগারিদম (Logarithm to base 10), প্রাকৃতিক লগারিদম নয়।
    
• অপশন 3 (\( -\frac{1}{x^2} \)): এটি \( \frac{1}{x} \) এর ইন্টিগ্রাল নয়, বরং \( \frac{1}{x} \) এর ডেরিভেটিভ (Derivative) \( -\frac{1}{x^2} \)।
    
• অপশন 4 (\( -\frac{1}{2x^2} \)): এটি \( \frac{1}{x} \) এর ইন্টিগ্রাল বা ডেরিভেটিভ কোনোটিই নয়।

সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো \( \ln|x| + c \)।