$x^2-8x-8y+16+x^2$ এর সঙ্গে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ হবে ?

একটি রাশিকে পূর্ণবর্গ করতে হলে সাধারণত \((a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\) অথবা \((a-b)^2 = a^2-2ab+b^2\) অথবা একাধিক চলরাশির ক্ষেত্রে \((a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\) এই সূত্রগুলি ব্যবহার করা হয়।

প্রদত্ত রাশিটি হলো: \(x^2 - 8x - 8y + 16 + x^2\)

রাশিটিকে সরল করলে পাই: \(2x^2 - 8x - 8y + 16\)

যেসকল বীজগণিতীয় রাশিতে একাধিক চলরাশি থাকে এবং সেগুলোকে পূর্ণবর্গে রূপান্তর করতে হয়, সেক্ষেত্রগুলোতে সাধারণত \((a+b+c)^2\) সূত্রটি প্রয়োগ করা হয়। এই সূত্রে \(a^2, b^2, c^2\) এর সাথে \(2ab, 2bc, 2ca\) পদগুলি থাকে।

এখানে প্রদত্ত রাশিতে \(x^2\) দুটি রয়েছে, যা একটি সাধারণ মুদ্রণ ত্রুটি নির্দেশ করে। সাধারণত, এই ধরনের প্রশ্নে \(x^2\) এবং \(y^2\) উভয় পদই থাকে। যদি প্রশ্নটি \(x^2 + y^2 - 8x - 8y + 16\) হতো, তবে এটিকে একটি পূর্ণবর্গে রূপান্তরিত করা সহজ হতো।

ধরি, আমরা রাশিটিকে \((x+y-4)^2\) আকারে প্রকাশ করার চেষ্টা করব।

আমরা জানি, \((a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)

এখন, যদি আমরা \(a=x\), \(b=y\) এবং \(c=-4\) ধরি, তাহলে

\((x+y-4)^2 = x^2+y^2+(-4)^2+2(x)(y)+2(y)(-4)+2(x)(-4)\)

\(= x^2+y^2+16+2xy-8y-8x\)

\(= x^2+y^2-8x-8y+16+2xy\)

যদি প্রদত্ত রাশিটি \(x^2 + y^2 - 8x - 8y + 16\) হতো, তাহলে দেখা যাচ্ছে যে পূর্ণবর্গ \((x+y-4)^2\) গঠনের জন্য এর সঙ্গে \(2xy\) যোগ করা প্রয়োজন। যেহেতু প্রদত্ত বিকল্পগুলির মধ্যে \(2xy\) রয়েছে এবং এই ধরনের প্রশ্নে প্রায়শই এমনভাবে টাইপো থাকে যা একটি সুপরিচিত বীজগাণিতিক প্যাটার্নের দিকে ইঙ্গিত করে, তাই আমরা ধরে নিতে পারি যে প্রশ্নটি ওই প্যাটার্নটি জানতে চেয়েছে।

সুতরাং, প্রদত্ত রাশিটির সাথে \(2xy\) যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ হবে।