$x^4+2x^2+1=5x^2$ হলে $x+\frac{1}{x}$এর মান কত?

প্রদত্ত সমীকরণটি হলো:

\[x^4 + 2x^2 + 1 = 5x^2\]

প্রথমে সমীকরণটিকে সরল করি:

\[x^4 + 1 = 5x^2 - 2x^2\]

\[x^4 + 1 = 3x^2\]

এখন, উভয় পক্ষকে \(x^2\) দ্বারা ভাগ করি (উল্লেখ্য যে, \(x=0\) হলে সমীকরণটি \(1=0\) হয় যা অসঙ্গত, সুতরাং \(x \neq 0\)):

\[\frac{x^4}{x^2} + \frac{1}{x^2} = \frac{3x^2}{x^2}\]

\[x^2 + \frac{1}{x^2} = 3\]

আমরা জানি, \(\left(a+b\right)^2 = a^2 + b^2 + 2ab\)। এই সূত্রটি ব্যবহার করে \(x+\frac{1}{x}\) এর মান নির্ণয় করি:

\[\left(x+\frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + \left(\frac{1}{x}\right)^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x}\]

\[\left(x+\frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + \frac{1}{x^2} + 2\]

আমরা \(x^2 + \frac{1}{x^2} = 3\) এই মানটি বসিয়ে পাই:

\[\left(x+\frac{1}{x}\right)^2 = 3 + 2\]

\[\left(x+\frac{1}{x}\right)^2 = 5\]

এখন বর্গমূল করে পাই:

\[x+\frac{1}{x} = \pm\sqrt{5}\]

যেহেতু অপশনগুলোতে শুধু ধনাত্মক মান দেওয়া আছে, তাই \(x+\frac{1}{x}\) এর মান হবে \(\sqrt{5}\)।