সরল সহসমীকরণ

অষ্টম শ্রেণি (মাধ্যমিক) - গণিত - | NCTB BOOK

গাণিতিক সমস্যা সমাধানে সমীকরণের ভূমিকা গুরুত্বপূর্ণ। আমরা ষষ্ঠ ও সপ্তম শ্রেণিতে এক চলকবিশিষ্ট সরল সমীকরণ ও এ-সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যার সমীকরণ গঠন করে তা সমাধান করতে শিখেছি। সপ্তম শ্রেণিতে সমীকরণের পক্ষান্তর বিধি, বর্জন বিধি, আড়গুণন বিধি ও প্রতিসাম্য বিধি সম্পর্কে জেনেছি। এ ছাড়াও লেখচিত্রের সাহায্যে কীভাবে সমীকরণের সমাধান করতে হয় তা জেনেছি। এ অধ্যায়ে দুই চলকবিশিষ্ট সরল সহসমীকরণের বিভিন্ন পদ্ধতিতে সমাধান ও লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধান সম্পর্কে বিস্তারিত আলোচনা করা হয়েছে।

অধ্যায় শেষে শিক্ষার্থীরা-
➤ সমীকরণের প্রতিস্থাপন পদ্ধতি ও অপনয়ন পদ্ধতি ব্যাখ্যা করতে পারবে।
➤ দুই চলকবিশিষ্ট সরল সহসমীকরণের সমাধান করতে পারবে।
➤ গাণিতিক সমস্যার সরল সহসমীকরণ গঠন করে সমাধান করতে পারবে সরল সহসমীকরণের সমাধান লেখচিত্রে দেখাতে পারবে।
➤ লেখচিত্রের সাহায্যে সরল সহসমীকরণের সমাধান করতে পারবে।

Content added By

Rezwan Siddiki Tamim

সরল সহসমীকরণ

x + y = 5 একটি সমীকরণ। এখানে, x ও y দুইটি অজানা রাশি বা চলক। এই চলক দুইটি একঘাতবিশিষ্ট। এরূপ সমীকরণ সরল সমীকরণ।

এখানে, যে সংখ্যাদ্বয়ের যোগফল 5 সেই সংখ্যা দ্বারাই সমীকরণটি সিদ্ধ হবে। যেমন, x = 4, y = 1; বা, x = 3, y = 2; বা, x = 2, y = 3; বা, x = 1, y = 4, ইত্যাদি, এরূপ অসংখ্য সংখ্যাযুগল দ্বারা সমীকরণটি সিদ্ধ হবে।

আবার, x – y = 3 এই সমীকরণটি বিবেচনা করলে দেখতে পাই, সমীকরণটি x = 4, y=1 বা x = 5, y = 2 _বা_ x = 6, y = 3 বা x = 7, y = 4 বা x = 8, y = 5 বা x = 2, y = -1 বা x = 1, y = -2, x = 0, y = - 3 ... ইত্যাদি অসংখ্য সংখ্যাযুগল দ্বারা সিদ্ধ হয়।

এখানে, x + y = 5 এবং x - y = 3 সমীকরণ দুইটি একত্রে বিবেচনা করলে উভয় সমীকরণ হতে প্রাপ্ত সংখ্যাযুগলের মধ্যে x = 4, y = 1 দ্বারা উভয় সমীকরণ যুগপৎ সিদ্ধ হয়।

চলকের মান দ্বারা একাধিক সমীকরণ সিদ্ধ হলে, সমীকরণসমূহকে একত্রে সহসমীকরণ বলা হয় এবং চলক একঘাত বিশিষ্ট হলে সহসমীকরণকে সরল সহসমীকরণ বলে।

চলকদ্বয়ের যে মান দ্বারা সহসমীকরণ যুগপৎ সিদ্ধ হয়, এদেরকে সহসমীকরণের মূল বা সমাধান বলা হয় । এখানে x + y = 5 এবং x - y = 3 সমীকরণ দুইটি সহসমীকরণ। এদের একমাত্র সমাধান x=4, y=1_ যা (x, y) = ( 4, 1 ) দ্বারা প্রকাশ করা যায়।

Content added By

Rezwan Siddiki Tamim

দুই চলকবিশিষ্ট সরল সহসমীকরণের সমাধান

দুই চলকবিশিষ্ট দুইটি সরল সমীকরণের সমাধানের পদ্ধতিগুলোর মধ্যে নিচের পদ্ধতি দুইটি আলোচনা
করা হলো :
(১) প্রতিস্থাপন পদ্ধতি (Method of Substitution)
(২) অপনয়ন পদ্ধতি (Method of Elimination)

(১) প্রতিস্থাপন পদ্ধতি

এই পদ্ধতিতে আমরা নিচের ধাপগুলো অনুসরণ করে সমাধান করতে পারি :

(ক) যেকোনো সমীকরণ থেকে চলক দুইটির একটির মান অপরটির মাধ্যমে প্রকাশ করা।

(খ) অপর সমীকরণে প্রাপ্ত চলকের মানটি স্থাপন করে এক চলকবিশিষ্ট সমীকরণ সমাধান করা।

(গ) নির্ণীত সমাধান প্রদত্ত সমীকরণ দুইটির যেকোনো একটিতে বসিয়ে অপর চলকের মান নির্ণয় করা।

উদাহরণ ১। সমাধান কর :
x + y =7
x - y = 3

সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণ
x + y = 7………………….(1)
x - y = 3…………………(2)

সমীকরণ (2) হতে পক্ষান্তর করে পাই,
x = y + 3...........(3)

সমীকরণ (3) হতে x এর মানটি সমীকরণ (1) -এ বসিয়ে পাই,
y + 3 + y =7
বা, 2y = 7 - 3
বা, 2y = 4
∴ y = 2
এখন সমীকরণ (3) এ y = 2 বসিয়ে পাই,
x = 2 + 3
∴ x = 5
নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (5, 2)

[শুদ্ধি পরীক্ষা : সমীকরণ দুইটিতে x = 5 ও y = 2 বসালে সমীকরণ (1)-এর বামপক্ষ = 5 + 2 = 7 = ডানপক্ষ এবং সমীকরণ (2)-এর বামপক্ষ = 5 - 2 = 3 = ডানপক্ষ।]

উদাহরণ ২। সমাধান কর :
x + 2y = 9
2x - y = 3
সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণ
x + 2y = 9……...……………..(1)
2x - y = 3…………………….(2)

সমীকরণ (2) হতে পাই, y = 2 x – 3……………………(3)

সমীকরণ (I) এ y এর মান বসিয়ে পাই, x + 2 (2x – 3) = 9
বা, x + 4x – 6 = 9
বা, 5 x = 6 +9
বা, 5 x = 15
বা, x = $\frac{15}{5}$
∴ x=3
এখন x এর মান সমীকরণ (3) -এ বসিয়ে পাই,
y = 2 x 3 - 3
= 6 - 3
= 3
নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (3,3)

উদাহরণ ৩। সমাধান কর :
2y + 5z = 16
y - 2z = -1

সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণ
2y + 5z = 16……………..(1)
y - 2z = -1………………….(2)

সমীকরণ (2) হতে পাই, y = 2z – 1……………………(3)

সমীকরণ (1) এ y এর মান বসিয়ে পাই,
2(2z-1)+5z = 16
বা, 4z - 2 + 5z = 16
বা, 9z= 16 + 2
বা, z = $\frac{18}{9}$
∴ x=3
এখন z এর মান সমীকরণ (3) -এ বসিয়ে পাই,
y = 2 x 3 - 3
= 6 - 3
∴ y = 3
নির্ণেয় সমাধান (y, z) = (3, 2)

উদাহরণ ৪। সমাধান কর :
$\frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 1$
$\frac{4}{x} - \frac{9}{y} = - 1$

সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণ
$\frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 1$ ……………..(1)
$\frac{4}{x} - \frac{9}{y} = - 1$ ………………….(2)

$\frac{1}{x} = u$ এবং $\frac{1}{y} = v$ ধরে (1) ও (2) নং সমীকরণ হতে পাই
2x + v = 3………….………(3)
4u - 9v = -1………………(4)

(3) নং সমীকরণ হতে পাই
v = 1 - 2u ………………..(5)

(4) নং সমীকরণে v এর মান বসিয়ে পাই, বা,

4u - 9 (1-2u) = -1

বা, 4u - 9 + 18 u = -1

বা, 22u = 9 – 1

∴ $u = \frac{8}{22} = \frac{4}{11}$

বা, $\frac{1}{x} = \frac{4}{11}$

∴ $x = \frac{11}{4}$

এখন, u এর মান (5) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

v = 1 - 2 $\times \frac{4}{11} = \frac{11 - 8}{11}$

∴ $v = \frac{3}{11}$

বা, $\frac{1}{y} = \frac{3}{11}$

∴ $y = \frac{11}{3}$

∴ নির্ণেয় সমাধান (x, y) = $(\frac{11}{4}, \frac{11}{3})$

(২) অপনয়ন পদ্ধতি

এই পদ্ধতিতে নিচের ধাপগুলো অনুসরণ করে সমাধান করা যায় :
(ক) প্রদত্ত উভয় সমীকরণকে এমন দুইটি সংখ্যা বা রাশি দ্বারা পৃথকভাবে গুণ করতে হবে যেন যেকোনো একটি চলকের সহগের সাংখ্যিক মান সমান হয়।
(খ) একটি চলকের সহগ একই চিহ্ন বিশিষ্ট হলে সমীকরণ পরস্পর বিয়োগ, অন্যথায় যোগ করতে হবে।
বিয়োগফলকৃত (বা যোগফলকৃত) সমীকরণটি একটি এক চলকবিশিষ্ট সরল সমীকরণ হবে।
(গ) সরল সমীকরণ সমাধানের নিয়মে চলকটির মান নির্ণয় করা।
(ঘ) প্রাপ্ত চলকের মান প্রদত্ত যেকোনো একটি সমীকরণে বসিয়ে অপর চলকের মান নির্ণয় করা।

উদাহরণ ৫। সমাধান কর :
5x - 4y = 6
x + 2y = 4

সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণ
5x - 4y = 6.………………….(1)
x+2y= 4.………………….(2)

(3) ও (4) সমীকরণ যোগ করে পাই,
7x = 14
বা, x = $\frac{14}{7}$ ………………….(4)

∴ x = 2

সমীকরণ (2) এx এর মান বসিয়ে পাই,
2 + 2y = 4
বা, 2y = 4 - 2
বা, y = $\frac{2}{2}$
∴ y = 1

নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (2, 1)

উদাহরণ ৬। সমাধান কর :
x + 4y = 14
7 x - 3y = 5

সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণ
x + 4y = 14………………..(1)
7x - 3y = 5………………..(2)

সমীকরণ (1) কে 3 দ্বারা এবং সমীকরণ (2) কে 4 দ্বারা গুণ করে পাই,

বা, x = $\frac{62}{31}$

∴ x = 2

এখন x এর মান সমীকরণ (1) -এ বসিয়ে পাই,
2 + 4y=14
বা, 4y = 14 - 2
বা, 4 y = 12
বা, y = $\frac{12}{4}$
∴ y = 3

∴ (x, y) = (2, 3)

উদাহরণ ৭। সমাধান কর :
5x - 3y = 9
3x - 5y = - 1

সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণ
5x - 3y = 9………………………(1)
3x - 5y = -1……………………..(2)

সমীকরণ (1) কে 5 দ্বারা এবং সমীকরণ (2) কে 3 দ্বারা গুণ করে পাই

বা, x = $\frac{48}{16}$

∴ x = 3

সমীকরণ (1) এ x এর মান বসিয়ে পাই,
5 × 3 - 3y = 9
বা, 15 - 3y = 9
বা, - 3y = 9 - 15
বা, - 3y = - 6
বা, y = $\frac{- 6}{- 3}$
∴ y = 2

∴ (x, y) = (3, 2)

উদাহরন ৮।
$\frac{x}{5} + \frac{3}{y} = 3$
$\frac{x}{2} - \frac{6}{y} = 2$

সমাধান :
প্রদত্ত সমীকরণ
$\frac{x}{5} + \frac{3}{y} = 3$ …………………….(1)
$\frac{x}{2} - \frac{6}{y} = 2$ …………………….(2)

(1) সমীকরণকে (2) দ্বারা গুণ করে (2) নং সমীকরণ এর সাথে যোগ করে পাই,
   $\frac{2 x}{5} + \frac{6}{y} = 6$ ………………….(3)
   $\frac{x}{2} - \frac{6}{y} = 2$ …………………….(4)
   $\frac{2 x}{5} + \frac{x}{2} = 8$
বা, $\frac{4 x + 5 x}{10} = 8$
বা, 9x = 8 × 10
বা, x = $\frac{80}{9}$

(1) নং সমীকরণে x এর মান বসিয়ে পাই,
$\frac{1}{5} \times \frac{80}{9} + \frac{3}{y} = 3$
বা, $\frac{16}{9} + \frac{3}{y} = 3$
বা, $\frac{3}{y} = 3 - \frac{16}{9}$
বা, $\frac{3}{y} = \frac{11}{9}$
বা, $y = \frac{27}{11}$
∴ নির্ণেয় সমাধান (x, y) = $(\frac{80}{9}, \frac{27}{11})$

Content added || updated By

Rezwan Siddiki Tamim

অনুশীলনী ৬.১

Please, contribute by adding content to অনুশীলনী ৬.১.

Content

# বহুনির্বাচনী প্রশ্ন

#.
$y = \frac{3 x}{2}$ হলে, নিচের কোনটি সঠিক?

3x + 2y = 0

3x - 2y = 0

3x - 2y = 2

2y - 3x = 2

x	-2	0	2	4	6
y	4	$\frac{5}{2}$	1	$\frac{- 1}{2}$	-2

সরল সহসমীকরণ

সরল সহসমীকরণ

দুই চলকবিশিষ্ট সরল সহসমীকরণের সমাধান

(১) প্রতিস্থাপন পদ্ধতি

(২) অপনয়ন পদ্ধতি

অনুশীলনী ৬.১

# বহুনির্বাচনী প্রশ্ন

বাস্তবভিত্তিক সমস্যার সহসমীকরণ গঠন ও সমাধান

লেখচিত্রের সাহায্যে সরল সহসমীকরণের সমাধান

অনুশীলনী ৬.২

# বহুনির্বাচনী প্রশ্ন