or
or
হলে x এর সাধারণ মান কোনটি?
আমরা দেওয়া সমীকরণটি ব্যবহার করে \( x \)-এর সাধারণ মান বের করতে পারি।
প্রদত্ত সমীকরণটি হলো:
\[
\cot^2 x + \csc^2 x = 3
\]
আমরা জানি যে, \(\csc^2 x = 1 + \cot^2 x\)। তাই,
\[
\cot^2 x + \csc^2 x = \cot^2 x + (1 + \cot^2 x)
\]
\[
\cot^2 x + \cot^2 x + 1 = 3
\]
\[
2\cot^2 x + 1 = 3
\]
\[
2\cot^2 x = 3 - 1
\]
\[
2\cot^2 x = 2
\]
\[
\cot^2 x = 1
\]
\[
\cot x = \pm 1
\]
তাহলে, \( x \)-এর মান হবে:
\[
x = n\pi + \frac{\pi}{4} \quad \text{or} \quad x = n\pi - \frac{\pi}{4} \quad \text{where} \, n \, \text{is an integer.}
\]
সুতরাং, \( x \)-এর সাধারণ মান হলো:
\[
x = n\pi \pm \frac{\pi}{4} \quad \text{where} \, n \, \text{is an integer.}
\]
প্রশ্নে দেওয়া হয়েছে:
\[ \cot^2 x + \csc^2 x = 3 \]
এটি একটি ট্রিগোনোমেট্রিক সমীকরণ। এটি সহজে সমাধান করার জন্য আমরা কিছু কাজ করতে পারি।
প্রথমে, আমরা বিদ্যমান ট্রিগোনোমেট্রিক সম্পর্কগুলি ব্যবহার করতে পারি:
\[ \cot^2 x + \csc^2 x = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} + \frac{1}{\sin^2 x} \]
এখন, সমাধান করি:
\[ \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} + \frac{1}{\sin^2 x} = \frac{\cos^2 x + 1}{\sin^2 x} \]
এখন, প্রদত্ত সমীকরণ দেওয়া হয়েছে:
\[ \frac{\cos^2 x + 1}{\sin^2 x} = 3 \]
এটি প্রস্তুতকরা হলো:
\[ \cos^2 x + 1 = 3 \sin^2 x \]
\[ \cos^2 x = 3 \sin^2 x - 1 \]
এখন, ব্যবহার করতে পারি \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) সমীকরণ:
\[ 3 \sin^2 x - 1 + 1 = 1 \]
\[ 3 \sin^2 x = 1 \]
\[ \sin^2 x = \frac{1}{3} \]
\[ \sin x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \]
এখন, সাধারণ মানে \( x \) বের করতে পারি:
\[ x = \sin^{-1} \left( \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \right) \]
তার মানে,
\[ x = \pm \frac{\pi}{6} + n\pi \]
এখানে \( n \) একটি পূর্ণসংখ্যা। তাই, প্রশ্নের সমাধানটি হলো:
\[ x = \pm \frac{\pi}{6} + n\pi \]
এখানে \( n \) একটি পূর্ণসংখ্যা হতে পারে যেখানে এই মানগুলি দেওয়া হয়:
\[ x = \frac{\pi}{6}, -\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, -\frac{7\pi}{6}, \ldots \]
এই হিসেবে বিভিন্ন মান নেয়া হয়েছে \( n \) এর সাহায্যে।
