অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞা লেখ। (জ্ঞানমূলক)

ভেক্টর যোগের সামন্তরিক সূত্র বিনিময় সূত্র (Commutative Law) মেনে চলে। বিনিময় সূত্র অনুযায়ী, দুটি ভেক্টরকে যে ক্রমেই যোগ করা হোক না কেন, তাদের লব্ধি ভেক্টরের মান ও দিক একই থাকে।

যখন দুটি ভেক্টরকে একটি সামন্তরিকের দুটি সন্নিহিত বাহু দ্বারা মান ও দিকে উপস্থাপন করা হয়, তখন তাদের লব্ধি ঐ বাহুদ্বয়ের ছেদবিন্দু থেকে অঙ্কিত কর্ণ দ্বারা সূচিত হয়। যদি আমরা \(\vec{A}\) ও \(\vec{B}\) দুটি ভেক্টর নেই, তবে সামন্তরিকের দুটি সন্নিহিত বাহু \(\vec{A}\) ও \(\vec{B}\) দ্বারা গঠিত হয়। এই ক্ষেত্রে, \(\vec{A} + \vec{B}\) এবং \(\vec{B} + \vec{A}\) উভয় ক্ষেত্রেই একই সামন্তরিক গঠিত হয় এবং একই কর্ণ দ্বারা লব্ধি নির্দেশিত হয়। তাই, ভেক্টর যোগের সামন্তরিক সূত্র বিনিময় সূত্র মেনে চলে।

উদ্দীপক অনুসারে, স্রোতের বেগ \(u = 4 \text{ kmh}^{-1}\) এবং সোহেলের নৌকার বেগ (স্রোতের সাপেক্ষে) \(v = 8 \text{ kmh}^{-1}\)। সোহেল AB বরাবর নৌকা চালানো শুরু করলেও, স্রোতের কারণে তার লব্ধি বেগ নদীর প্রস্থ AD বরাবর D বিন্দুতে পৌঁছায়। এর অর্থ হলো, সোহেলের ক্ষেত্রে নৌকার প্রকৃত গতিপথ স্রোতের দিকের সাথে লম্ব বরাবর ছিল।

যখন একটি নৌকা স্রোতের প্রতিকূলে নির্দিষ্ট কোণে যাত্রা করে এবং তার লব্ধি বেগ নদীর প্রস্থ বরাবর হয় (অর্থাৎ স্রোতের দিকের সাথে লম্ব হয়), তখন নৌকার বেগ (স্রোতের সাপেক্ষে), স্রোতের বেগ এবং লব্ধি বেগ একটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে। এই ত্রিভুজে নৌকার বেগ (স্রোতের সাপেক্ষে) অতিভুজ হিসাবে কাজ করে এবং স্রোতের বেগ ও লব্ধি বেগ লম্ব ও ভূমি হিসাবে থাকে। এক্ষেত্রে লব্ধি বেগ নির্ণয়ের জন্য পিথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহার করা হয়।

সোহেলের নৌকার বেগ, \(v = 8 \text{ kmh}^{-1}\) এবং স্রোতের বেগ, \(u = 4 \text{ kmh}^{-1}\)।
যদি লব্ধি বেগ \(w\) হয়, তাহলে পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী:
\(v^2 = u^2 + w^2\)
\(w^2 = v^2 - u^2\)
\(w = \sqrt{v^2 - u^2}\)
মান বসিয়ে পাই,
\(w = \sqrt{8^2 - 4^2}\)
\(w = \sqrt{64 - 16}\)
\(w = \sqrt{48}\)
\(w \approx 6.9282 \text{ kmh}^{-1}\)
সুতরাং, সোহেলের ক্ষেত্রে নৌকার বেগ ও স্রোতের বেগের লব্ধি বেগের মান প্রায় 6.928 kmh^-1।

উদ্দীপকে প্রদত্ত তথ্যের ভিত্তিতে নদীর প্রস্থ AD এবং রোহানের স্রোতের কারণে অতিক্রান্ত দূরত্ব DC এর মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করে যাচাই করতে হবে যে তারা সমান হবে কি না। এর জন্য গাণিতিক বিশ্লেষণ প্রয়োজন হবে।

প্রথমে সোহেলের ক্ষেত্রে নদীর প্রস্থ AD নির্ণয় করা যাক। সোহেল 8 kmh^-1 বেগে নৌকা চালিয়ে স্রোতের 4 kmh^-1 বেগ অতিক্রম করে 10 মিনিটে AD বরাবর D বিন্দুতে পৌঁছায়। যেহেতু সোহেল সরাসরি D বিন্দুতে পৌঁছায়, তার লব্ধি বেগ নদীর প্রস্থের (AD) দিকে কাজ করেছে। ধরা যাক, সোহেল স্রোতের দিকের সাথে \(\theta\) কোণে নৌকা চালিয়েছিল। তাহলে তার কার্যকরী বেগ নদীর প্রস্থ বরাবর হবে \(v_{AD} = \sqrt{v_{নৌকা}^2 - v_{স্রোত}^2}\)।

এখানে, \(v_{নৌকা} = 8 \text{ kmh}^{-1}\) এবং \(v_{স্রোত} = 4 \text{ kmh}^{-1}\)।
সুতরাং, \(v_{AD} = \sqrt{8^2 - 4^2} = \sqrt{64 - 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \text{ kmh}^{-1}\)।
সোহেল 10 মিনিটে (অর্থাৎ \(10/60 = 1/6\) ঘণ্টা) নদী পার হয়।
নদীর প্রস্থ, \(AD = v_{AD} \times t = 4\sqrt{3} \text{ kmh}^{-1} \times \frac{1}{6} \text{ h} = \frac{4\sqrt{3}}{6} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \text{ km}\)।

এবার রোহানের ক্ষেত্রে স্রোতের কারণে অতিক্রান্ত দূরত্ব DC নির্ণয় করা যাক। রোহান 10 kmh^-1 বেগে নদীর প্রস্থ AD বরাবর নৌকা চালানো শুরু করে। এক্ষেত্রে রোহানের বেগ নদীর প্রস্থ বরাবর \(v_{R,perp} = 10 \text{ kmh}^{-1}\)। নদী পার হতে তার সময় লাগবে \(t_R = \frac{AD}{v_{R,perp}}\)।
\(t_R = \frac{\frac{2\sqrt{3}}{3} \text{ km}}{10 \text{ kmh}^{-1}} = \frac{2\sqrt{3}}{30} = \frac{\sqrt{3}}{15} \text{ ঘণ্টা}\)।
এই সময়ে স্রোতের কারণে রোহান যতটুকু দূরত্ব অতিক্রম করবে, তাই হবে DC।
স্রোতের বেগ \(v_{স্রোত} = 4 \text{ kmh}^{-1}\)।
স্রোতের কারণে অতিক্রান্ত দূরত্ব, \(DC = v_{স্রোত} \times t_R = 4 \text{ kmh}^{-1} \times \frac{\sqrt{3}}{15} \text{ h} = \frac{4\sqrt{3}}{15} \text{ km}\)।

এখন নদীর প্রস্থ AD এবং রোহানের দৈর্ঘ্য বরাবর অতিক্রান্ত দূরত্ব DC এর তুলনা করা যাক:
\(AD = \frac{2\sqrt{3}}{3} \text{ km}\)
\(DC = \frac{4\sqrt{3}}{15} \text{ km}\)
AD কে DC এর সাথে তুলনা করার জন্য AD কে একই ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যেতে পারে:
\(AD = \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{3} \times 5}{3 \times 5} = \frac{10\sqrt{3}}{15} \text{ km}\)
স্পষ্টতই, \(\frac{10\sqrt{3}}{15} \ne \frac{4\sqrt{3}}{15}\)। অতএব, নদীর প্রস্থ AD এবং রোহানের দৈর্ঘ্য বরাবর অতিক্রান্ত দূরত্ব DC সমান হবে না। গাণিতিকভাবে দেখা যাচ্ছে যে, \(AD = 2.5 \times DC\), অর্থাৎ নদীর প্রস্থ রোহানের স্রোতের কারণে অতিক্রান্ত দূরত্বের আড়াই গুণ।