অয়ন ফলের দোকান থেকে (3A)₁₆ টাকার আপেল ও (57)₈ টাকার কমলা কিনল।

এখানে \(A=0041_{16}\) দ্বারা একটি হেক্সাডেসিমাল (Hexadecimal) সংখ্যাকে বোঝানো হয়েছে। হেক্সাডেসিমাল সংখ্যা পদ্ধতির ভিত্তি (base) হলো ১৬, অর্থাৎ এই পদ্ধতিতে ১৬টি ভিন্ন অঙ্ক বা প্রতীক ব্যবহার করা হয়। এই অঙ্কগুলো হলো ০, ১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬, ৭, ৮, ৯ এবং A, B, C, D, E, F। যেখানে A দ্বারা ১০, B দ্বারা ১১ এবং F দ্বারা ১৫ বোঝানো হয়। সংখ্যাটির পূর্বে থাকা অতিরিক্ত শূন্যগুলো এর মান পরিবর্তন করে না, অর্থাৎ \(0041_{16}\) এবং \(41_{16}\) একই মান নির্দেশ করে।

কম্পিউটার সিস্টেমে বাইনারি সংখ্যাকে সংক্ষেপে প্রকাশ করার জন্য হেক্সাডেসিমাল সংখ্যা পদ্ধতি ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়, কারণ প্রতিটি হেক্সাডেসিমাল অঙ্ক চারটি বাইনারি অঙ্ক (bits) দ্বারা সহজে প্রকাশ করা যায়। হেক্সাডেসিমাল সংখ্যাকে দশমিক (Decimal) সংখ্যায় রূপান্তর করে এর প্রকৃত মান বোঝা যায়। যেমন: \( (0041)_{16} = (0 \times 16^3) + (0 \times 16^2) + (4 \times 16^1) + (1 \times 16^0) = 0 + 0 + 64 + 1 = 65_{10} \)। সুতরাং, \(A=0041_{16}\) মানে \(A\) এর মান দশমিক পদ্ধতিতে ৬৫।

উদ্দীপকে উল্লিখিত অয়ন ফলের দোকান থেকে আপেল কিনেছিল \( (3A)_{16} \) টাকায় এবং কমলা কিনেছিল \( (57)_8 \) টাকায়। তার কেনা আপেল ও কমলার মোট মূল্য বাইনারীতে নির্ণয় করার জন্য প্রথমে হেক্সাডেসিমেল ও অক্টাল সংখ্যা দুটিকে দশমিকে রূপান্তর করতে হবে।

আপেলের মূল্য \( (3A)_{16} \) কে দশমিকে রূপান্তর করলে হয়:
\( (3A)_{16} = 3 \times 16^1 + A \times 16^0 \)
\( = 3 \times 16 + 10 \times 1 \)
\( = 48 + 10 \)
\( = 58_{10} \)
কমলার মূল্য \( (57)_8 \) কে দশমিকে রূপান্তর করলে হয়:
\( (57)_8 = 5 \times 8^1 + 7 \times 8^0 \)
\( = 5 \times 8 + 7 \times 1 \)
\( = 40 + 7 \)
\( = 47_{10} \)
সুতরাং, অয়নের কেনা আপেল ও কমলার মোট মূল্য দশমিকে হলো \( 58 + 47 = 105_{10} \)।

এখন মোট মূল্য \( 105_{10} \) কে বাইনারীতে রূপান্তর করলে পাই:
\( 105 \div 2 = 52 \) ভাগশেষ \( 1 \)
\( 52 \div 2 = 26 \) ভাগশেষ \( 0 \)
\( 26 \div 2 = 13 \) ভাগশেষ \( 0 \)
\( 13 \div 2 = 6 \) ভাগশেষ \( 1 \)
\( 6 \div 2 = 3 \) ভাগশেষ \( 0 \)
\( 3 \div 2 = 1 \) ভাগশেষ \( 1 \)
\( 1 \div 2 = 0 \) ভাগশেষ \( 1 \)
নিচ থেকে উপরের ভাগশেষগুলো সাজিয়ে লিখলে পাই \( (1101001)_2 \)। অতএব, উদ্দীপকে উল্লিখিত আপেল ও কমলার মোট মূল্য বাইনারীতে হলো \( (1101001)_2 \) টাকা।

উদ্দীপকে অয়ন কর্তৃক কেনা আপেল ও কমলার মূল্য ভিন্ন ভিন্ন সংখ্যা পদ্ধতিতে দেওয়া হয়েছে। ডিজিটাল ডিভাইস বা কম্পিউটারে গাণিতিক কাজ করার জন্য সকল সংখ্যাকে সাধারণত বাইনারি সংখ্যায় রূপান্তর করা হয়। বিয়োগের কাজ সরাসরি বাইনারি পদ্ধতিতে না করে যোগের মাধ্যমে সম্পন্ন করার জন্য ২-এর পরিপূরক পদ্ধতি অত্যন্ত কার্যকর ও বহুল ব্যবহৃত একটি প্রক্রিয়া। এই পদ্ধতিতে ধনাত্মক ও ঋণাত্মক উভয় সংখ্যাকে একই সার্কিট ব্যবহার করে যোগ করা সম্ভব।

উদ্দীপকে আপেলের মূল্য \((3A)_{16}\) এবং কমলার মূল্য \((57)_8\) দেওয়া হয়েছে। প্রথমে এই সংখ্যা দুটিকে দশমিকে রূপান্তর করে তাদের প্রকৃত মান নির্ধারণ করা প্রয়োজন। এরপর, এদের পার্থক্য নির্ণয়ের জন্য বাইনারিতে রূপান্তর করে ২-এর পরিপূরক পদ্ধতি ব্যবহার করে যোগের মাধ্যমে বিয়োগফল বের করতে হবে।

• আপেলের মূল্য দশমিকে রূপান্তর:
  \((3A)_{16} = 3 \times 16^1 + A \times 16^0\) (যেখানে \(A = 10\))
  \(= 3 \times 16 + 10 \times 1\)
  \(= 48 + 10\)
  \(= (58)_{10}\)


• কমলার মূল্য দশমিকে রূপান্তর:
  \((57)_8 = 5 \times 8^1 + 7 \times 8^0\)
  \(= 5 \times 8 + 7 \times 1\)
  \(= 40 + 7\)
  \(= (47)_{10}\)

দেখা যাচ্ছে, আপেলের মূল্য কমলার মূল্যের চেয়ে বেশি (\((58)_{10} > (47)_{10}\))। তাই পার্থক্য হবে \((58)_{10} - (47)_{10}\)। ২-এর পরিপূরক পদ্ধতিতে বিয়োগ করার জন্য সংখ্যা দুটিকে সমপরিমাণ বিট ব্যবহার করে বাইনারিতে প্রকাশ করতে হবে। এখানে 8-বিট রেজিস্টার ব্যবহার করা হলো:

• আপেলের মূল্য (Minuend): \((3A)_{16} = (00111010)_2\)
• কমলার মূল্য (Subtrahend): \((57)_8 = (00101111)_2\)

এখন, ২-এর পরিপূরক পদ্ধতিতে বিয়োগফল নির্ণয় করা হলো:

1. কমলার মূল্য \((00101111)_2\) এর ১-এর পরিপূরক নির্ণয়:
   \((00101111)_2 \rightarrow (11010000)_2\)
2. ১-এর পরিপূরকের সাথে ১ যোগ করে ২-এর পরিপূরক নির্ণয়:
   \[ \begin{array}{r} 11010000_2 \\ +\quad 1_2 \\ \hline 11010001_2 \\ \end{array} \]
3. আপেলের মূল্য \((00111010)_2\) এর সাথে কমলার মূল্যের ২-এর পরিপূরক যোগ:
   \[ \begin{array}{r} 00111010_2 \\ +\quad 11010001_2 \\ \hline 100001011_2 \\ \end{array} \]

যোগফল থেকে প্রাপ্ত অতিরিক্ত বিট (ক্যারি বিট) বাদ দিলে বিয়োগফল পাওয়া যায়। এখানে, leftmost '1' হলো ক্যারি বিট। ক্যারি বিট বাদ দিলে ফলাফল দাঁড়ায় \((00001011)_2\)।

• ফলাফলকে দশমিকে রূপান্তর:
  \((00001011)_2 = 0 \times 2^7 + 0 \times 2^6 + 0 \times 2^5 + 0 \times 2^4 + 1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 1 \times 2^0\)
  \(= 0 + 0 + 0 + 0 + 8 + 0 + 2 + 1\)
  \(= (11)_{10}\)

সুতরাং, উদ্দীপকে উল্লিখিত আপেল ও কমলার মূল্যের পার্থক্য যোগের মাধ্যমে নির্ণয় করলে তা \((00001011)_2\) বা \((11)_{10}\) টাকা হয়। এই প্রক্রিয়াটি প্রমাণ করে যে, ২-এর পরিপূরক পদ্ধতি ব্যবহার করে কম্পিউটার সিস্টেমে যোগের সার্কিট দিয়েই বিয়োগের কাজ দক্ষতার সাথে সম্পন্ন করা সম্ভব, যা ডিজিটাল যন্ত্রপাতির কার্যকারিতা বৃদ্ধি করে। অয়নের কেনা আপেল ও কমলার মূল্যের পার্থক্য ১১ টাকা।