আদিদশা কাকে বলে? (জ্ঞানমূলক)

সরল দোলকের গতিকে সরল ছন্দিত স্পন্দন (Simple Harmonic Motion - SHM) হিসেবে বিবেচনা করার জন্য এর কৌণিক বিস্তারকে সাধারণত 4° বা তার কম রাখা হয়। এই সীমার মধ্যে থাকলে, দোলকের সরণ কোণ (\(\theta\)) খুব ছোট হয় এবং \(\sin\theta \approx \theta\) (যখন \(\theta\) রেডিয়ানে প্রকাশ করা হয়) অনুমানটি প্রযোজ্য হয়।

যখন কৌণিক বিস্তার ছোট হয়, তখন দোলকের উপর ক্রিয়াশীল প্রত্যাবর্তী বল সরণের সমানুপাতিক হয়, যা সরল ছন্দিত স্পন্দনের অন্যতম শর্ত। যদি বিস্তার 4° এর বেশি হয়, তাহলে \(\sin\theta\) আর \(\theta\) এর সমান থাকে না, ফলে প্রত্যাবর্তী বল সরণের সমানুপাতিক হয় না এবং দোলকের গতি সরল ছন্দিত স্পন্দন থেকে বিচ্যুত হয়। এর ফলে দোলকের পর্যায়কাল কেবলমাত্র দৈর্ঘ্য ও অভিকর্ষজ ত্বরণের উপর নির্ভর না করে বিস্তারের উপরও নির্ভরশীল হয়ে পড়ে, যা আদর্শ সরল দোলকের শর্তের পরিপন্থী।

উদ্দীপকে প্রদত্ত সরণের সমীকরণ থেকে আমরা বস্তুকণাটির কৌণিক কম্পাঙ্ক (angular frequency) নির্ণয় করতে পারি। সরণের সমীকরণটি হলো \( \vec{r} = (\hat{i}\cos3t+\hat{j}\sin3t)m \)। সরল ছন্দিত স্পন্দনে স্পন্দনশীল বস্তুকণার সরণের সাধারণ সমীকরণ \( x = A\cos(\omega t + \delta) \) বা \( x = A\sin(\omega t + \delta) \) এর সাথে তুলনা করে আমরা পাই, কৌণিক কম্পাঙ্ক \( \omega = 3 \, rad/s \)।

এখন, স্পন্দনশীল বস্তুটির কম্পাঙ্ক (frequency), \( f \) নির্ণয়ের সূত্র হলো \( f = \frac{\omega}{2\pi} \)। প্রাপ্ত কৌণিক কম্পাঙ্কের মান বসিয়ে পাই, \( f = \frac{3}{2\pi} \) \( f \approx \frac{3}{2 \times 3.14159} \) \( f \approx \frac{3}{6.28318} \) \( f \approx 0.477 \, Hz \)

সুতরাং, স্পন্দনশীল বস্তুটির কম্পাঙ্ক প্রায় \( 0.477 \, Hz \)। প্রদত্ত ভর \( m = 0.2 \, kg \) এবং বল ধ্রুবক \( k = 1.8 \, Nm^{-1} \) ব্যবহার করেও কৌণিক কম্পাঙ্ক \( \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{1.8}{0.2}} = \sqrt{9} = 3 \, rad/s \) পাওয়া যায়, যা সরণের সমীকরণ থেকে প্রাপ্ত মানের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। কম্পাঙ্ক একটি গুরুত্বপূর্ণ ভৌত রাশি যা বস্তুকণার দোলন বা স্পন্দনের হার নির্দেশ করে এবং এর পর্যায়কাল নির্ণয়েও সহায়ক।

উদ্দীপকে একটি বস্তুকণার ভর, সরণ এবং বল ধ্রুবক দেওয়া আছে। এই সরণ অনুযায়ী বস্তুকণার গতিশক্তি ও বিভবশক্তি সমান হবে কি-না, তা গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ করে মতামত জানতে চাওয়া হয়েছে। এটি সরল ছন্দিত স্পন্দনরত বস্তুর শক্তি বিষয়ক একটি উচ্চতর দক্ষতার প্রশ্ন।

উদ্দীপকে প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী, বস্তুকণার ভর \(m = 0.2 \text{ kg}\), সরণ ভেক্টর \( \vec{r} = ( \hat{i} \cos 3t + \hat{j} \sin 3t )m \) এবং বল ধ্রুবক \(k = 1.8 \text{ Nm}^{-1}\)। প্রদত্ত সরণ সমীকরণ থেকে বোঝা যায় যে, বস্তুকণাটি \(1 \text{ m}\) ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তাকার পথে \(3 \text{ rad/s}\) কৌণিক কম্পাঙ্কে ঘুরছে, যা একটি দ্বিমাত্রিক সরল ছন্দিত স্পন্দন (Uniform Circular Motion) নির্দেশ করে। এখানে বিস্তার \(A = 1 \text{ m}\) এবং কৌণিক কম্পাঙ্ক \( \omega = 3 \text{ rad/s} \)। বল ধ্রুবক ও ভর ব্যবহার করে কৌণিক কম্পাঙ্ক হিসাব করলে পাই \( \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{1.8}{0.2}} = \sqrt{9} = 3 \text{ rad/s} \)। এটি সরণ সমীকরণ থেকে প্রাপ্ত \(\omega\) এর সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ।

এখন, বস্তুকণাটির গতিশক্তি ও বিভবশক্তি নির্ণয় করি:

গতিশক্তি (Kinetic Energy, KE):
সরণ ভেক্টর, \( \vec{r} = ( \hat{i} \cos 3t + \hat{j} \sin 3t )m \)

বেগ ভেক্টর, \( \vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{d}{dt} ( \cos 3t \hat{i} + \sin 3t \hat{j} ) \)

\( \vec{v} = ( -3 \sin 3t \hat{i} + 3 \cos 3t \hat{j} ) \text{ m/s} \)

বেগের মান, \( |\vec{v}| = \sqrt{(-3 \sin 3t)^2 + (3 \cos 3t)^2} \)

\( |\vec{v}| = \sqrt{9 \sin^2 3t + 9 \cos^2 3t} = \sqrt{9 (\sin^2 3t + \cos^2 3t)} \)

\( |\vec{v}| = \sqrt{9 \times 1} = 3 \text{ m/s} \)

সুতরাং, গতিশক্তি, \( KE = \frac{1}{2} m |\vec{v}|^2 = \frac{1}{2} (0.2) (3)^2 \)

\( KE = \frac{1}{2} \times 0.2 \times 9 = 0.1 \times 9 = 0.9 \text{ J} \)

বিভবশক্তি (Potential Energy, PE):
দ্বিমাত্রিক সরল ছন্দিত স্পন্দন বা বৃত্তাকার গতির জন্য বিভবশক্তি, \( PE = \frac{1}{2} k |\vec{r}|^2 \)

সরণ ভেক্টরের মান, \( |\vec{r}| = \sqrt{(\cos 3t)^2 + (\sin 3t)^2} = \sqrt{1} = 1 \text{ m} \)

সুতরাং, বিভবশক্তি, \( PE = \frac{1}{2} (1.8) (1)^2 \)

\( PE = \frac{1}{2} \times 1.8 \times 1 = 0.9 \text{ J} \)

গাণিতিক বিশ্লেষণ থেকে দেখা যায় যে, উদ্দীপকে উল্লিখিত সরণে বস্তুকণাটির গতিশক্তি \(0.9 \text{ J}\) এবং বিভবশক্তিও \(0.9 \text{ J}\)। অর্থাৎ, গতিশক্তি ও বিভবশক্তি উভয়ই সমান। একটি কণার দ্বিমাত্রিক সরল ছন্দিত স্পন্দন যদি এমন হয় যে এটি একটি নির্দিষ্ট ব্যাসার্ধের বৃত্তাকার পথে ঘোরে এবং এর উপর ক্রিয়াশীল প্রত্যায়নী বল সর্বদা কেন্দ্রের দিকে পরিচালিত হয়, তবে তার গতিশক্তি ও বিভবশক্তি সব সময়েই সমান থাকে।