আয়ত একক ভেক্টর কাকে বলে ?

গ্যাসের অণুগুলো সর্বদা এলোমেলোভাবে এবং বিভিন্ন দিকে বিভিন্ন বেগে গতিশীল থাকে। একই তাপমাত্রায় সকল অণুর বেগ সমান হয় না এবং প্রতিটি অণুর বেগের দিকও ভিন্ন হয়। ফলে তাদের বেগের সরল গাণিতিক গড় মান শূন্য হতে পারে বা গ্যাসের গতিশক্তিকে সঠিকভাবে প্রতিফলিত করে না।

এজন্য, গ্যাসের অণুগুলোর সামগ্রিক গতিশীল অবস্থা ও তাদের দ্বারা সৃষ্ট চাপ এবং তাপমাত্রার সাথে সম্পর্কযুক্ত একটি কার্যকর বেগ পরিমাপের জন্য মূল গড় বর্গ (root mean square বা r.m.s.) বেগ ব্যবহার করা হয়। r.m.s. বেগ হলো অণুগুলোর বেগের বর্গ করে তাদের গড় নিয়ে তারপর তার বর্গমূল, যা গ্যাসের মোট গতিশক্তি সঠিকভাবে নির্দেশ করে এবং তাপমাত্রার সাথে সরাসরি সম্পর্কযুক্ত।

দেওয়া আছে,

পাম্প দ্বারা প্রতি সেকেন্ডে উত্তোলনকৃত পানির ভর, \(m = 5\) kg

উচ্চতা, \(h = 20\) m

নিক্ষিপ্ত পানির বেগ, \(v = 10\) ms^-1

অভিকর্ষজ ত্বরণ, \(g = 9.8\) ms^-2

প্রথম পাম্পের শক্তি বা ক্ষমতা নির্ণয় করতে হবে। একটি পাম্প যখন নির্দিষ্ট ভরের পানিকে একটি নির্দিষ্ট উচ্চতায় তোলে এবং নির্দিষ্ট বেগে নিক্ষেপ করে, তখন তার মোট ক্ষমতা দুটি অংশের সমষ্টি:

১. পানিকে উচ্চতায় তোলার জন্য প্রয়োজনীয় ক্ষমতা (বিভব শক্তি পরিবর্তনের হার)।

২. পানিকে নির্দিষ্ট বেগে নিক্ষেপ করার জন্য প্রয়োজনীয় ক্ষমতা (গতিশক্তি পরিবর্তনের হার)।

সুতরাং, প্রথম পাম্পের মোট ক্ষমতা (Power, \(P\)) হবে:

\[ P = mgh + \frac{1}{2}mv^2 \]

মান বসিয়ে পাই,

\[ P = (5 \times 9.8 \times 20) + (\frac{1}{2} \times 5 \times (10)^2) \]

\[ P = (980) + (\frac{1}{2} \times 5 \times 100) \]

\[ P = 980 + 250 \]

\[ P = 1230 \]

সুতরাং, প্রথম পাম্পের শক্তি হলো 1230 W.

উদ্দীপকে দুটি পাম্পের বর্ণনা দেওয়া হয়েছে এবং কুয়া পানিশূন্য করতে তাদের সময়কাল তুলনা করতে বলা হয়েছে। এই বিশ্লেষণের জন্য প্রথমে কুয়ার মোট পানির ভর ও উত্তোলনকৃত পানির গড় উচ্চতা নির্ণয় করে মোট প্রয়োজনীয় কাজ বের করতে হবে। এরপর প্রতিটি পাম্পের ক্ষমতা নির্ণয় করে তাদের সময়কাল হিসাব করে তুলনা করা হবে।

গাণিতিক বিশ্লেষণের জন্য কিছু উপাত্ত ধরে নিতে হবে কারণ উদ্দীপকে কুয়ার গভীরতা সরাসরি উল্লেখ নেই। প্রথম পাম্পের বর্ণনায় '20 m উচ্চতায়' পানি তোলার কথা উল্লেখ থাকায় আমরা কুয়ার গভীরতা (H) = 20 m ধরে নিতে পারি। এক্ষেত্রে, পাম্পকে গড় উচ্চতা \( \frac{H}{2} \) = 10 m পর্যন্ত পানি উত্তোলন করতে হবে। এছাড়াও, প্রথম পাম্পের ক্ষমতা নির্ণয়ের জন্য '5 kg পানিকে 20 m উচ্চতায় তুলে 10 ms^-1 বেগে নিক্ষেপ করে' এই কাজটি প্রতি সেকেন্ডে সম্পন্ন হয় ধরে নিতে হবে, কারণ অন্যথায় পাম্পের ক্ষমতা নির্ণয় সম্ভব নয়। পানির ঘনত্ব \( \rho = 1000 \text{ kg/m}^3 \) এবং অভিকর্ষজ ত্বরণ \( g = 9.8 \text{ ms}^{-2} \) ধরা হলো। 1 HP = 746 W।

প্রয়োজনীয় গাণিতিক বিশ্লেষণ:
কুয়ার ব্যাস (d) = 4 m, সুতরাং ব্যাসার্ধ (r) = \( \frac{4}{2} \) m = 2 m। ধরা যাক কুয়ার গভীরতা (H) = 20 m।
কুয়ার পানির আয়তন (V) = \( \pi r^2 H = \pi (2)^2 \times 20 = 80\pi \text{ m}^3 \)
কুয়ার পানির ভর (M) = \( \rho V = 1000 \times 80\pi = 80000\pi \text{ kg} \)
পানি উত্তোলনের গড় উচ্চতা = \( \frac{H}{2} \) = \( \frac{20}{2} \) m = 10 m
কুয়া পানিশূন্য করতে মোট প্রয়োজনীয় কাজ (W) = \( M g (\frac{H}{2}) = 80000\pi \times 9.8 \times 10 = 7840000\pi \text{ J} \)

প্রথম পাম্পের জন্য:
প্রথম পাম্প 5 kg পানিকে 20 m উচ্চতায় তুলে 10 ms^-1 বেগে নিক্ষেপ করে। 5 kg পানির উপর কৃত কাজ \( W_1' = mgh + \frac{1}{2}mv^2 = 5 \times 9.8 \times 20 + \frac{1}{2} \times 5 \times (10)^2 = 980 + 250 = 1230 \text{ J} \)। ধরা যাক, এই কাজ প্রতি সেকেন্ডে সম্পন্ন হয়, সুতরাং প্রথম পাম্পের ক্ষমতা (P₁) = \( \frac{W_1'}{1 \text{ s}} = 1230 \text{ W} \)।
প্রথম পাম্পের কুয়া পানিশূন্য করতে প্রয়োজনীয় সময় (t₁) = \( \frac{W}{P_1} = \frac{7840000\pi}{1230} \approx 20025.2 \text{ s} \approx 5.56 \text{ ঘণ্টা} \)

দ্বিতীয় পাম্পের জন্য:
দ্বিতীয় পাম্পের ক্ষমতা (P₂) = 5 HP = \( 5 \times 746 \text{ W} = 3730 \text{ W} \)।
দ্বিতীয় পাম্পের কুয়া পানিশূন্য করতে প্রয়োজনীয় সময় (t₂) = \( \frac{W}{P_2} = \frac{7840000\pi}{3730} \approx 6602.8 \text{ s} \approx 1.83 \text{ ঘণ্টা} \)

উপসংহার:
উপরিউক্ত গাণিতিক বিশ্লেষণ থেকে দেখা যায়, কুয়াটি পানিশূন্য করতে প্রথম পাম্পের সময় লাগে প্রায় 5.56 ঘণ্টা এবং দ্বিতীয় পাম্পের সময় লাগে প্রায় 1.83 ঘণ্টা। যেহেতু দ্বিতীয় পাম্পের সময়কাল (প্রায় 1.83 ঘণ্টা) প্রথম পাম্পের সময়কাল (প্রায় 5.56 ঘণ্টা) থেকে অনেক কম, তাই কুয়াটি পানিশূন্য করতে দ্বিতীয় পাম্পটির কম সময় লাগবে। এর কারণ হলো দ্বিতীয় পাম্পের ক্ষমতা (3730 W) প্রথম পাম্পের ক্ষমতা (1230 W) এর চেয়ে বেশি।