আয়ত একক ভেক্টর কী?

ঘ.

    হ্যাঁ, উদ্দীপকের বস্তুটি OBC পথে C বিন্দুতে পৌঁছানো সম্ভব। নির্দিষ্ট বেগে একটি বস্তুকে দুটি ভিন্ন প্রক্ষেপণ কোণে নিক্ষেপ করা হলে যদি প্রক্ষেপণের পাল্লা (range) সর্বোচ্চ পাল্লার কম হয়, তবে বস্তুটি একই অনুভূমিক পাল্লা অর্জন করতে পারে। এই দুটি কোণ পরস্পর পূরক কোণ হয়, অর্থাৎ তাদের যোগফল \(90^\circ\)।

    উদ্দীপকে দেওয়া তথ্যানুসারে, বস্তুটির প্রক্ষেপণ বেগ \(u = 30 ms^{-1}\)। OAC পথে বস্তুটি \(t_1 = 3.062 s\) সময়ে C বিন্দুতে পৌঁছায়। যেহেতু OAC এবং OBC দুটি পথেই C বিন্দুতে পৌঁছানোর কথা বলা হয়েছে এবং এটি একটি সাধারণ প্রক্ষেপণ গতির চিত্র, ধরে নেওয়া যায় যে C বিন্দুটি O বিন্দুর সম-অনুভূমিক তলে অবস্থিত। এই ক্ষেত্রে উল্লম্ব সরণ \(y = 0\)।     আমরা জানি, প্রক্ষেপণকালে উল্লম্ব সরণের সূত্র হলো \(y = (u \sin \alpha) t - \frac{1}{2}gt^2\)।     C বিন্দুতে \(y = 0\) হলে, আমরা পাই:     \[ (u \sin \alpha_1) t_1 - \frac{1}{2}gt_1^2 = 0 \]     \[ u \sin \alpha_1 = \frac{1}{2}gt_1 \]     \[ \sin \alpha_1 = \frac{gt_1}{2u} \]     মান বসিয়ে পাই:     \[ \sin \alpha_1 = \frac{9.8 \times 3.062}{2 \times 30} = \frac{29.9976}{60} \approx 0.5 \]     অতএব, \(\alpha_1 = \sin^{-1}(0.5) = 30^\circ\)।     এখন, এই কোণে অনুভূমিক পাল্লা (Range) নির্ণয় করি:     \[ R = \frac{u^2 \sin 2\alpha}{g} \]     \[ R = \frac{(30)^2 \sin (2 \times 30^\circ)}{9.8} = \frac{900 \sin 60^\circ}{9.8} \]     \[ R = \frac{900 \times 0.866025}{9.8} \approx 79.55 \text{ m} \]

    প্রক্ষেপণ গতির সূত্রানুযায়ী, একই অনুভূমিক পাল্লা দুটি পূরক কোণের জন্য সম্ভব। যদি একটি কোণ \(\alpha_1 = 30^\circ\) হয়, তবে অন্য কোণটি হবে \(\alpha_2 = 90^\circ - \alpha_1 = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\)।     এখন, \(\alpha_2 = 60^\circ\) কোণে পাল্লা নির্ণয় করি:     \[ R = \frac{(30)^2 \sin (2 \times 60^\circ)}{9.8} = \frac{900 \sin 120^\circ}{9.8} \]     \[ R = \frac{900 \times 0.866025}{9.8} \approx 79.55 \text{ m} \]     দেখা যাচ্ছে যে, \(30^\circ\) এবং \(60^\circ\) উভয় কোণের জন্যই অনুভূমিক পাল্লা একই \(79.55 \text{ m}\) হয়। OBC পথটি \(60^\circ\) কোণে প্রক্ষেপণের ফলাফলকে নির্দেশ করে। এই পথে C বিন্দুতে পৌঁছানোর সময় হবে:     \[ t_2 = \frac{2u \sin \alpha_2}{g} = \frac{2 \times 30 \sin 60^\circ}{9.8} \]     \[ t_2 = \frac{60 \times 0.866025}{9.8} \approx 5.302 \text{ s} \]

    সুতরাং, গাণিতিক বিশ্লেষণ থেকে এটি প্রমাণিত যে, একই প্রক্ষেপণ বেগ (\(30 ms^{-1}\)) ব্যবহার করে \(60^\circ\) কোণে নিক্ষেপ করে OBC পথে বস্তুটি C বিন্দুতে (একই অনুভূমিক পাল্লায়) পৌঁছানো সম্ভব। যদিও সময় (\(5.302 \text{ s}\)) এবং সর্বোচ্চ উচ্চতা ভিন্ন হবে, অনুভূমিক পাল্লা একই থাকবে। এই ঘটনা প্রক্ষেপণ গতির একটি মৌলিক নীতিকে তুলে ধরে।