উক্ত রাশিটির বিস্তৃতিতে $x^3$ এর সহগ $x^5$ এর সহগের 15 গুণ হলে, K এর মান নির্ণয় করুন।

বীজগণিতীয় রাশির গুণ (Multiplication of Algebraic Expressions)

একটি বীজগাণিতিক রাশির প্রতিটি পদকে অন্য একটি রাশির প্রতিটি পদের সাথে গুণ করাকে বীজগণিতীয় রাশির গুণ বলা হয়।

মৌলিক ধারণা

রাশির গুণ করার সময় সহগের গুণ করতে হয় এবং একই চলকের ক্ষেত্রে ঘাত যোগ করতে হয়।

গুণের মৌলিক নিয়ম

• সহগগুলোর গুণ করতে হবে
• একই চলকের ঘাত যোগ করতে হবে
• প্রতিটি পদকে প্রতিটি পদের সাথে গুণ করতে হবে

চলকের ঘাতের নিয়ম

$a^m\times a^n=a^{m+n}$

উদাহরণ ১

একপদীর সাথে একপদীর গুণ:

$3x\times 2x=6x^2$

উদাহরণ ২

একপদীর সাথে বহুপদীর গুণ:

$2x(x+3)=2x^2+6x$

উদাহরণ ৩

দুইটি বহুপদীর গুণ:

$(x+2)(x+3)$

প্রথম রাশির প্রতিটি পদকে দ্বিতীয় রাশির প্রতিটি পদের সাথে গুণ করলে পাই:

$x^2+3x+2x+6$

সমজাতীয় পদ একত্র করলে পাই:

$x^2+5x+6$

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

• প্রতিটি পদকে প্রতিটি পদের সাথে গুণ করতে হয়
• একই চলকের ঘাত যোগ হয়
• সহগগুলো আলাদাভাবে গুণ করা হয়
• শেষে সমজাতীয় পদ একত্র করতে হয়

মনে রাখার উপায়

“প্রত্যেক পদের সাথে প্রত্যেক পদের গুণ” — এই নিয়ম অনুসরণ করলেই বীজগাণিতিক রাশির গুণ সহজে করা যায়।

বীজগণিতীয় রাশির গুণ

গুণের বিনিময়বিধি

আমরা জানি,

2 $\times$ 3 = 6 আবার 3 $\times$ 2 = 6

2 $\times$ 3 = 3 $\times$ 2 যা গুণের বিনিময়বিধি।

গুণের সংযোগবিধি

$(2 \times 3) \times 4 = 6 \times 4 = 24$আবার $2 (3 \times 4) = 2 \times 12 = 24$

$(2 \times 3) \times 4 = 2(3 \times 4)$যা গুণের সংযোগবিধি।

a, b, c যেকোনো তিনটি বীজগণিতীয় রাশির জন্য (a$\times$b)$\times$c=a$\times$ (b$\times$c), যা গুণের সংযোগবিধি।

গুণের সূচকবিধি

আমরা জানি,

$a\times a=a^2,a\times a\times a=a^3,a\times a\times a\times a=a^4$

$a^2\times a^4=(a\times a)(a\times a\times a\times a)=a\times a\times a\times a\times a\times a\times a=a^6=a^{2+4}$

সাধারণভাবে $a^{m}x{a}^n = a^{m+n}$ যেখানে m, n যেকোনো স্বাভাবিক সংখ্যা।

এই প্রক্রিয়াকে গুণের সূচকবিধি বলা হয়।

আবার, $(a^3{)}^2=a^3\times a^3=a^6=a^{3\times 2}=a^6$

সাধারণভাবে, ${\left(a^m\right)}^n = a^{nm}$

গুণের বণ্টন বিধি

আমরা জানি,

$2(a + b) = (a + b) + (a + b) [\because 2x = x + x ]$

= (a + a) + (b + b)

= 2a + 2b

আবার পাশের চিত্র হতে পাই,

ABEF আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল

= দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ = BE $\times$ AB=a$\times$2=2$\times$a=2a

আবার, ECDF আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ

= EC$\times$CD=b$\times$2=2$\times$b= 2b

$\therefore$ ABCD আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল

= ABEF আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল + ECDF আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

= 2a + 2b

আবার, ABCD আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

= দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ

= BC $\times$ AB

= AB $\times$ (BE + EC)

= 2$\times$ (a+b)

= 2(a + b)

$\therefore$ 2(a+b) =2a+2b.

চিহ্নযুক্ত রাশির গুণ

আমরা জানি, 2 কে 4 বার নিলে 2 + 2 + 2 + 2 = 8 = 2 $\times$ 4 হয়। এখানে বলা যায় যে, 2 কে 4 দ্বারা গুণ করা হয়েছে।

অর্থাৎ, 2 $\times$ 4 = 2 + 2 + 2 + 2 = 8

যেকোনো বীজগণিতীয় রাশি a ও b এর জন্য

a$\times$b = ab _________ (i)

আবার

$(- 2) \times 4 = (- 2) + (- 2) + (- 2) + (- 2) = - 8 = - (2 \times 4)$

অর্থাৎ $(- 2) \times 4 = - (2 \times 4) = - 8$

সাধারণভাবে, $(- a) \times b = - (a\times b) = - a \times b$__________ (ii)

আবার, $a\times (- b) = (- b) \times a$গুণের বিনিময়বিধি

= - (b $\times$ a)

= - (a $\times$ b)

= - a $\times$ b

অর্থাৎ, $a\times (- b) = - (a\times b) = - ab$_____________ (iii)

আবার, $(-a)\times (-b)=-\left\{\right(-a)\times b\}$ [(iii) অনুযায়ী]

= - {- (a$\times$b)} [ (ii) অনুযায়ী]

= - (- ab)

= ab

অর্থাৎ, $(- a)(- b) = ab$ __________(iv)

লক্ষ করি :

• একই চিহ্নযুক্ত দুটি রাশির গুণফল (+) চিহ্নযুক্ত হবে।
• বিপরীত চিহ্নযুক্ত দুটি রাশির গুণফল (-) চিহ্নযুক্ত হবে।

একপদী রাশিকে একপদী রাশি দ্বারা গুণ

দুটি একপদী রাশির গুণের ক্ষেত্রে তাদের সাংখ্যিক সহগদ্বয়কে চিহ্নযুক্ত সংখ্যার গুণের নিয়মে গুণ করতে হয়। উভয়পদে বিদ্যমান বীজগণিতীয় প্রতীকগুলোকে সূচক নিয়মে গুণ করে গুণফলে লিখতে হয়। অন্যান্য প্রতীকগুলো অপরিবর্তিত অবস্থায় গুণফলে নেওয়া হয়।

উদাহরণ ১। $5x^2{y}^4$ কে $3x^2{y}^4$ দ্বারা গুণ কর।

সমাধান:

$5x^2{y}^4 \times 3x^2{y}^3$

$= \left(5x3\right)\times (x^2\times x^2)\times (y^4+ y^3)$

$=15x^4{y}^7$ [সূচক নিয়ম অনুযায়ী।

নির্ণেয় গুণফল $=15x^4{y}^7$

উদাহরণ ২। $12a^{2}x{y}^2$কে $-6a{x}^{3}b$ দ্বারা গুণ কর।

সমাধান:

$12a^{2}x{y}^2 \times (-6a{x}^{3}b)$

$$\begin{gathered} =12\times (-6) \times (a^2\times a)\times b\times (x\times x^3)\times y^2 \\ = -72a^{3}b{x}^4{y}^2 \end{gathered}$$

নির্ণেয় গুণফল $-72a^{3}b{x}^4{y}^2$

উদাহরণ ৩। $-7a^2{b}^{4}c$কে $4a^2{c}^{3}d$দ্বারা গুণ কর।

সমাধান:

$(-7a^2{b}^{4}c) \times 4a^2{c}^{3}d$

$$\begin{gathered} = (-7\times 4)\times (a^2\times a^2)\times b^2\times (c \times c^{3 })\times d \\ = -28a^4{b}^4{c}^{4}d \end{gathered}$$

নির্ণেয় গুণফল $-28a^4{b}^4{c}^{4}d$

বহুপদী রাশিকে একপদী রাশি দ্বারা গুণ

একের অধিক পদযুক্ত বীজগণিতীয় রাশিই বহুপদী রাশি। যেমন, $5x^{2}y + 7x{y}^2$একটি বহুপদী রাশি।

বহুপদী রাশিকে একপদী রাশি দ্বারা গুণ করতে হলে গুণ্যের (প্রথম রাশি) প্রত্যেক পদকে গুণক (দ্বিতীয় রাশি) দ্বারা গুণ করতে হয়।

উদাহরণ ১। $(5x^{2}y +7x{y}^2)$কে $5x^3{y}^3$ দ্বারা গুণ কর।

সমাধান:

$$\begin{gathered} (5x^{2}y +7x{y}^2) x 5x^3{y}^3 \\ = (5x^{2}y\times 5x^3{y}^3) + (7x{y}^2\times 5x^3{y}^3) \\ = (5\times 5)\times (x^2\times x^3)x(y\times y^3) + (7\times 5)\times (x\times x^3)\times (y^2\times y^3) \\ = 25x^5{y}^4 +35x^4{y}^5 \end{gathered}$$

নির্ণেয় গুণফল $25x^5{y}^4 +35x^4{y}^5$

উদাহরণ ২। $2a^3-b^3+3abc$ কে $a^4{b}^2$ দ্বারা গুণ কর।

সমাধান:

$$\begin{gathered} (2a^3-b^3+3abc)\times a^4{b}^2 \\ = (2a^3\times a^4{b}^2)-(b^3\times a^4{b}^2)+(3abc\times a^4{b}^2) \\ =2a^7{b}^2-a^4{b}^5 +3a^5{b}^{3}c \end{gathered}$$

বহুপদী রাশিকে বহুপদী রাশি দ্বারা গুণ

• বহুপদী রাশিকে বহুপদী রাশি দ্বারা গুণ করতে হলে গুণ্যের প্রত্যেক পদকে গুণকের প্রত্যেক পদ দ্বারা আলাদা আলাদাভাবে গুণ করে সদৃশ পদগুলোকে নিচে নিচে সাজিয়ে লিখতে হয়।
• চিহ্নযুক্ত রাশির যোগের নিয়মে যোগ করতে হয়।
• বিসদৃশ পদ থাকলে সেগুলোকে পৃথকভাবে লিখতে হয় এবং গুণফলে বসাতে হয়।

উদাহরণ ১। 3x + 2y কে x + y দ্বারা গুণ কর।

গুণের নিয়ম:

• প্রথমে গুণ্যের প্রত্যেক পদকে গুণকের প্রথম পদ দ্বারা গুণ করে গুণফল লিখতে হবে।
• এরপর গুণ্যের প্রত্যেক পদকে গুণকের দ্বিতীয় পদ দ্বারা গুণ করে গুণফল বের করতে হবে। এ গুণফলকে এমনভাবে সাজিয়ে লিখতে হবে যেন উভয় গুণফলের সদৃশ পদগুলো নিচে নিচে পড়ে।
• প্রাপ্ত দুটি গুণফলের বীজগণিতীয় সমষ্টিই হলো নির্ণেয় গুণফল।

উদাহরণ ২। $a^2-2ab+b$ কে a - bদ্বারা গুণ কর।

উদাহরণ ৩। $2x^2+3x-4$ কে $3x^2-4x-5$ দ্বারা গুণ কর।

নির্ণেয় গুণফল $6x^4+x^3-34x^2+x+20$