উদ্দীপকের চক্রে মোট কৃতকাজ শূন্য হবে কিনা-গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ কর। (উচ্চতর দক্ষতা)

উত্তরঃ

কার্নো চক্রের B থেকে C ধাপটি রুদ্ধতাপীয় প্রসারণ নির্দেশ করে। রুদ্ধতাপীয় প্রক্রিয়ায় চাপ (\(P\)) ও আয়তন (\(V\)) এর সম্পর্ক \(PV^\gamma = \text{ধ্রুবক}\) সূত্র দ্বারা প্রকাশ করা হয়। এই সূত্র ব্যবহার করে এবং উদ্দীপকে দেওয়া প্রতিটি ধাপে প্রসারণের অনুপাত কাজে লাগিয়ে \(P_3\) এর মান নির্ণয় করা যাবে। উদ্দীপকে, A বিন্দুর চাপ $P_1=3.7\times {10}^{5}N{m}^{-2}$ এবং প্রতিটি ধাপে প্রসারণের অনুপাত 2:1 দেওয়া আছে, অর্থাৎ সমোষ্ণ প্রসারণে $V_B/V_A=2$ এবং রুদ্ধতাপীয় প্রসারণে $V_C/V_B=2$।

প্রথমে, A থেকে B ধাপের সমোষ্ণ প্রসারণের সূত্র ব্যবহার করে B বিন্দুর চাপ (\(P_2\)) নির্ণয় করা হলো:

    
• সমোষ্ণ প্রসারণ (A থেকে B):
      আমরা জানি, $P_1{V}_1=P_2{V}_2$
      বা, $P_2=P_1(V_1/V_2)$
      যেহেতু $V_2/V_1=2$, তাই $P_2=P_1(1/2)$
      $P_2=(3.7\times {10}^5)/2=1.85\times {10}^{5}N{m}^{-2}$

এরপর, B থেকে C ধাপের রুদ্ধতাপীয় প্রসারণের সূত্র ব্যবহার করে C বিন্দুর চাপ (\(P_3\)) নির্ণয় করা হলো:

    
• রুদ্ধতাপীয় প্রসারণ (B থেকে C):
      আমরা জানি, $P_2{V}_2^{\gamma }=P_3{V}_3^{\gamma }$
      বা, $P_3=P_2(V_2/V_3{)}^{\gamma }$
      যেহেতু $V_3/V_2=2$, তাই $P_3=P_2(1/2{)}^{\gamma }$
      এখানে, $\gamma$=1.4
      $P_3=1.85\times {10}^5\times (0.5{)}^{1.4}$
      $P_3=1.85\times {10}^5\times 0.378929$
      $P_3\approx 0.701919\times {10}^{5}N{m}^{-2}$
      $P_3\approx 7.02\times {10}^{4}N{m}^{-2}$

অতএব, উদ্দীপকের কার্নো চক্রের C বিন্দুর চাপ (\(P_3\)) এর মান প্রায় $7.02\times {10}^{4}N{m}^{-2}$। এই মানটি A বিন্দু থেকে শুরু হয়ে সমোষ্ণ প্রসারণ এবং পরবর্তীতে রুদ্ধতাপীয় প্রসারণ ধাপ অতিক্রম করার পর প্রাপ্ত চাপকে নির্দেশ করে। এটি কার্নো চক্রের কর্মদক্ষতা নির্ণয়ে একটি গুরুত্বপূর্ণ ধাপ, যেখানে তাপমাত্রার পাশাপাশি বিভিন্ন বিন্দুর চাপ ও আয়তনের সম্পর্ক বোঝা জরুরি।