উদ্দীপকের বর্ণিত ঘটনাটি কাজ শক্তির উপপাদ্য সমর্থন করে কি? গাণিতিকভাবে যাচাই কর।

কাজ-শক্তি উপপাদ্য অনুসারে, কোনো বস্তুর উপর প্রযুক্ত মোট লব্ধি বল দ্বারা সম্পন্ন কাজের পরিমাণ বস্তুটির গতিশক্তির পরিবর্তনের সমান। গাণিতিকভাবে, \(W_{\text{net}} = \Delta K = K_f - K_i\)। উদ্দীপকের ঘটনাটি এই উপপাদ্য সমর্থন করে কিনা, তা নিম্নোক্ত গাণিতিক বিশ্লেষণের মাধ্যমে যাচাই করা হলো।

পাথর খণ্ডটি 5m উচ্চতা থেকে পড়ায় এটি গতিশক্তি লাভ করে। আঘাতের ঠিক পূর্ব মুহূর্তে পাথর খণ্ডটির গতিশক্তি, যা তার বিভব শক্তির হ্রাস থেকে আসে, তা হবে:

    
• পাথরের ভর \(m = 4\) kg
    
• পতনের উচ্চতা \(h = 5\) m
    
• অভিকর্ষজ ত্বরণ \(g = 9.8\) m/s\(^2\)

আঘাতের পূর্ব মুহূর্তে গতিশক্তি (\(K_{\text{impact}}\)) = হারানো বিভব শক্তি = \(mgh\)
\(K_{\text{impact}} = 4 \times 9.8 \times 5 = 196\) J.

রডটি মাটির ভেতরে 10 cm (= 0.1 m) প্রবেশ করার অর্থ হলো, পাথর খণ্ড এবং রড উভয়েই এই দূরত্ব অতিক্রম করে স্থির হয়। এক্ষেত্রে সিস্টেমের (পাথর + রড) উপর মোট কাজ হলো অভিকর্ষ বল দ্বারা সম্পন্ন কাজ এবং মাটির প্রতিরোধ বল দ্বারা সম্পন্ন কাজ। ধরি, মাটির গড় প্রতিরোধ বল \(F_R\)। এই বল উপরের দিকে ক্রিয়া করে এবং গতিকে বাধা দেয়। পাথর খণ্ড এবং রড উভয়ই স্থির অবস্থা থেকে শুরু করে এবং শেষ পর্যন্ত স্থির হয়। তাই, সিস্টেমের মোট গতিশক্তির পরিবর্তন \(\Delta K = 0\)।

অভিকর্ষ বল দ্বারা মোট কাজ (\(W_g\)):

    
• পাথরের উপর অভিকর্ষ বল দ্বারা কাজ = \(m_s g (h_1 + h_2) = 4 \times 9.8 \times (5 + 0.1) = 4 \times 9.8 \times 5.1 = 199.92\) J.
    
• রডের উপর অভিকর্ষ বল দ্বারা কাজ = \(m_r g h_2 = 4 \times 9.8 \times 0.1 = 3.92\) J.
    
• মোট \(W_g = 199.92 + 3.92 = 203.84\) J.

মাটির প্রতিরোধ বল দ্বারা কাজ (\(W_R\)) = \(-F_R \times h_2 = -F_R \times 0.1\) J (ঋণাত্মক কারণ বল ও সরণের দিক বিপরীত)।

কাজ-শক্তি উপপাদ্য অনুসারে:
\(W_{\text{net}} = \Delta K\)
\(W_g + W_R = 0\)
\(203.84 - F_R \times 0.1 = 0\)
\(F_R \times 0.1 = 203.84\)
\(F_R = 2038.4\) N.

কাজ-শক্তি উপপাদ্য অনুযায়ী, সিস্টেমের উপর মোট কৃতকাজ তার গতিশক্তির পরিবর্তনের সমান হওয়া উচিত। উদ্দীপকের ঘটনাটিতে পাথর এবং রডের সম্মিলিত ব্যবস্থার প্রাথমিক ও চূড়ান্ত গতিশক্তি উভয়ই শূন্য, তাই গতিশক্তির পরিবর্তনও শূন্য। আমাদের গাণিতিক বিশ্লেষণ অনুযায়ী, অভিকর্ষ বল দ্বারা ধনাত্মক কাজ (203.84 J) এবং মাটির প্রতিরোধ বল দ্বারা ঋণাত্মক কাজ (\(-203.84\) J) একে অপরকে বাতিল করে মোট কাজ শূন্য করে তোলে। সুতরাং, উদ্দীপকের বর্ণিত ঘটনাটি কাজ-শক্তি উপপাদ্যকে পুরোপুরি সমর্থন করে।