উদ্দীপকের যাত্রী বাসটি ধরতে পারবে কি? গাণিতিক বিশ্লেষণসহ মতামত দাও।

না, সরল দোলগতির ক্ষেত্রে সাম্যাবস্থানে ববের বেগ সর্বনিম্ন নয়, বরং সর্বোচ্চ হয়।

ব্যাখ্যা:

সরল দোলগতি (Simple Harmonic Motion - SHM) হলো এমন একটি পর্যায়ক্রমিক গতি যেখানে একটি বস্তুর উপর ক্রিয়ারত পুনরুদ্ধারকারী বল (Restoring force) তার সরণ (Displacement) এর সমানুপাতিক এবং সর্বদা সাম্যাবস্থানের (Equilibrium position) দিকে ক্রিয়াশীল। এই বলের প্রভাবে বস্তুটি সাম্যাবস্থানের উভয় পাশে নির্দিষ্ট বিস্তারের (Amplitude) মধ্যে স্পন্দিত হয়।

    
•         

  সাম্যাবস্থানে (Equilibrium Position):

          

  সাম্যাবস্থানে বস্তুর সরণ \( x = 0 \) হয়।

          

  যেহেতু পুনরুদ্ধারকারী বল \( F = -kx \) (যেখানে \( k \) একটি ধ্রুবক) সরণের সমানুপাতিক, তাই \( x = 0 \) হলে \( F = 0 \) হয়।

          

  নিউটনের দ্বিতীয় সূত্রানুযায়ী, \( F = ma \), যেখানে \( m \) বস্তুর ভর এবং \( a \) ত্বরণ (Acceleration)। যেহেতু \( F = 0 \), তাই ত্বরণ \( a = 0 \) হয়।

          

  ত্বরণ শূন্য হওয়ার অর্থ হলো, ঐ মুহূর্তে বস্তুর বেগের (Velocity) কোনো পরিবর্তন হচ্ছে না, অর্থাৎ বস্তুটি সর্বোচ্চ বেগে ঐ বিন্দু অতিক্রম করছে। সরল দোলগতির ক্ষেত্রে বেগের সমীকরণ হলো: \( v = \pm \omega \sqrt{A^2 - x^2} \), যেখানে \( \omega \) কৌণিক কম্পাঙ্ক (Angular frequency) এবং \( A \) বিস্তার। সাম্যাবস্থানে \( x = 0 \) বসালে, \( v_{max} = \pm \omega A \) পাওয়া যায়। এটিই সর্বোচ্চ বেগ।

      
    
•         

  সর্বোচ্চ সরণের অবস্থানে (Extreme Position):

          

  সর্বোচ্চ সরণের অবস্থানে বস্তুর সরণ \( x = \pm A \) হয় (যেখানে \( A \) হলো বিস্তার)।

          

  এই অবস্থানে, পুনরুদ্ধারকারী বল \( F = -k(\pm A) \) সর্বোচ্চ হয় এবং সাম্যাবস্থানের দিকে ক্রিয়া করে।

          

  ত্বরণ \( a = -\omega^2 x \) হওয়ায়, এই অবস্থানে ত্বরণও \( a = -\omega^2 (\pm A) \) সর্বোচ্চ হয়।

          

  কিন্তু এই অবস্থানে বস্তুটি মুহূর্তের জন্য থেমে যায় (তার গতির দিক পরিবর্তন করার জন্য), তাই বেগ \( v = 0 \) হয়। সরল দোলগতির বেগের সমীকরণে \( x = \pm A \) বসালে \( v = \pm \omega \sqrt{A^2 - A^2} = 0 \) পাওয়া যায়। এটিই সর্বনিম্ন বেগ।

      

অতএব, সরল দোলগতির ক্ষেত্রে ববের বেগ সাম্যাবস্থানে সর্বনিম্ন নয়, বরং সর্বোচ্চ এবং সর্বোচ্চ সরণের অবস্থানে সর্বনিম্ন (শূন্য) হয়।