উদ্দীপকের রাস্তাটির ভিতরের প্রান্ত অপেক্ষা বাহিরের প্রান্ত কত উঁচু হলে গাড়িটি সম্ভাব্য সর্বোচ্চ বেগে নিরাপদে বাঁক নিতে পারবে— গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ কর।

প্রদত্ত মানসমূহ:

গাড়ির ভর (m) = 2000 kg

রাস্তার বাঁকের ব্যাসার্ধ (r) = 5 m

রাস্তার প্রস্থ (d) = 3 m

রাস্তার সর্বোচ্চ ঘর্ষণ বল 40 Nkg^-1। এখানে 40 Nkg^-1 দ্বারা ঘর্ষণ সহগ (\(\mu\)) ও অভিকর্ষজ ত্বরণ (\(g\)) এর গুণফল (\(\mu g\)) বোঝানো হয়েছে, কারণ ঘর্ষণ সহগ একটি এককবিহীন রাশি।

সুতরাং, \(\mu g = 40 \text{ Nkg}^{-1}\)

অভিকর্ষজ ত্বরণ (g) = 9.8 ms^-2

ঘর্ষণ সহগ (\(\mu\)) = \(\frac{40}{g} = \frac{40}{9.8} \approx 4.0816\)

একটি বাঁকানো রাস্তায় ঘর্ষণ বল বিবেচনা করে কোনো গাড়ির সর্বোচ্চ নিরাপদ বেগের (\(v_{max}\)) জন্য ব্যাংকিং কোণ (\(\theta\)) এর সম্পর্কটি হলো:

\[ v_{max}^2 = gr \frac{\tan\theta + \mu}{1 - \mu \tan\theta} \]

এখানে,

    
• \(v_{max}\) হলো সর্বোচ্চ নিরাপদ বেগ,
    
• \(g\) হলো অভিকর্ষজ ত্বরণ,
    
• \(r\) হলো বাঁকের ব্যাসার্ধ,
    
• \(\theta\) হলো ব্যাংকিং কোণ (banking angle), এবং
    
• \(\mu\) হলো ঘর্ষণ সহগ।

গাড়িটি সম্ভাব্য সর্বোচ্চ বেগে নিরাপদে বাঁক নিতে পারবে সেই শর্তে, যখন উপরের সমীকরণে হরের মান শূন্যের কাছাকাছি চলে আসে, অর্থাৎ \(1 - \mu \tan\theta \approx 0\)। এটি একটি তাত্ত্বিক সীমা নির্দেশ করে যেখানে সর্বোচ্চ নিরাপদ বেগ অসীম হয়। এই শর্তটিই সর্বোচ্চ সম্ভাব্য বেগ অর্জনের জন্য প্রয়োজনীয় ব্যাংকিং কোণ নির্ধারণ করে।

অতএব, সম্ভাব্য সর্বোচ্চ বেগের জন্য:

\[ 1 - \mu \tan\theta = 0 \]

\[ \tan\theta = \frac{1}{\mu} \]

এখন, ব্যাংকিং কোণ (\(\theta\)), রাস্তার প্রস্থ (\(d\)) এবং ভিতরের প্রান্ত অপেক্ষা বাহিরের প্রান্তের উচ্চতা (\(h\)) এর মধ্যে জ্যামিতিক সম্পর্ক স্থাপন করি। রাস্তার প্রস্থ \(d\) এবং উচ্চতা \(h\) হলে, আমরা পাই:

\[ \sin\theta = \frac{h}{d} \]

এখান থেকে \(\tan\theta\) কে \(h\) এবং \(d\) এর মাধ্যমে প্রকাশ করা যায়:

\[ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{h/d}{\sqrt{1 - \sin^2\theta}} = \frac{h/d}{\sqrt{1 - (h/d)^2}} = \frac{h/d}{\frac{\sqrt{d^2 - h^2}}{d}} = \frac{h}{\sqrt{d^2 - h^2}} \]

এখন, \(\tan\theta = \frac{1}{\mu}\) শর্তটি এবং \(\tan\theta = \frac{h}{\sqrt{d^2 - h^2}}\) সম্পর্কটি একত্রিত করে \(h\) এর মান নির্ণয় করি:

\[ \frac{h}{\sqrt{d^2 - h^2}} = \frac{1}{\mu} \]

উভয় পক্ষকে বর্গ করে পাই:

\[ \frac{h^2}{d^2 - h^2} = \frac{1}{\mu^2} \]

\[ h^2 \mu^2 = d^2 - h^2 \]

\[ h^2 \mu^2 + h^2 = d^2 \]

\[ h^2 (\mu^2 + 1) = d^2 \]

\[ h = \frac{d}{\sqrt{\mu^2 + 1}} \]

প্রদত্ত মানসমূহ বসিয়ে পাই:

\[ h = \frac{3}{\sqrt{(4.0816)^2 + 1}} \]

\[ h = \frac{3}{\sqrt{16.6597 + 1}} \]

\[ h = \frac{3}{\sqrt{17.6597}} \]

\[ h = \frac{3}{4.20234} \]

\[ h \approx 0.7139 \text{ m} \]

সুতরাং, রাস্তাটির ভিতরের প্রান্ত অপেক্ষা বাহিরের প্রান্ত প্রায় 0.71 মিটার উঁচু হলে গাড়িটি সম্ভাব্য সর্বোচ্চ বেগে নিরাপদে বাঁক নিতে পারবে।