উদ্দীপকের PX ও XY এর মানকে বাইনারিতে যোগ কর। (প্রয়োগ)

EBCDIC (Extended Binary Coded Decimal Interchange Code) হলো একটি ৮-বিট বিশিষ্ট ক্যারেক্টার এনকোডিং সিস্টেম যা প্রধানত আইবিএম (IBM) মেইনফ্রেম কম্পিউটারগুলোতে ব্যবহৃত হয়।

প্রদত্ত সমীকরণটি সত্য। কারণ, বিভিন্ন সংখ্যা পদ্ধতি থেকে দশমিক সংখ্যা পদ্ধতিতে রূপান্তর করে যোগফল নির্ণয় করলে উভয় পক্ষ সমান হয়। যেমন, বাইনারি, অক্টাল, দশমিক এবং হেক্সাডেসিমেল সংখ্যাগুলো থেকে দশমিক মানে রূপান্তর করলে পাই:

\( (1)_2 = 1_{10} \)

\( (1)_8 = 1_{10} \)

\( (1)_{10} = 1_{10} \)

\( (1)_{16} = 1_{10} \)

সুতরাং, বামপক্ষ: \( 1_{10} + 1_{10} + 1_{10} + 1_{10} = 4_{10} \).

এবং ডানপক্ষ: \( (100)_2 = 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 0 \times 2^0 = 4 + 0 + 0 = 4_{10} \).

অতএব, উভয় পক্ষ \( 4_{10} \) হওয়ায় সমীকরণটি সঠিক এবং ব্যাখ্যা করা সম্ভব।

কম্পিউটারে ব্যবহৃত বিভিন্ন সংখ্যা পদ্ধতি (Binary, Octal, Decimal, Hexadecimal) এর মধ্যে পাটিগণিতীয় হিসাব করার জন্য প্রথমে সংখ্যাগুলোকে একটি সাধারণ পদ্ধতিতে (যেমন দশমিক) রূপান্তর করা অপরিহার্য। প্রতিটি সংখ্যার স্থানীয় মান (Positional Value) এবং ভিত্তি (Base) ব্যবহার করে দশমিক মানে আনা হয়, যার ফলে বিভিন্ন ভিত্তির সংখ্যাগুলোর মধ্যে যোগ, বিয়োগ ইত্যাদি গাণিতিক প্রক্রিয়া সহজে সম্পন্ন করা যায় এবং ফলাফলের সঠিকতা যাচাই করা সম্ভব হয়।

তথ্য ও যোগাযোগ প্রযুক্তিতে সংখ্যা পদ্ধতির ব্যবহার অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। ভিন্ন ভিন্ন সংখ্যা পদ্ধতিতে থাকা মানসমূহের মধ্যে যোগ, বিয়োগ ইত্যাদি গাণিতিক প্রক্রিয়া সম্পাদনের জন্য সেগুলোকে একই সংখ্যা পদ্ধতিতে রূপান্তর করা প্রয়োজন হয়। বিশেষভাবে, বিয়োগ প্রক্রিয়াকে যোগের মাধ্যমে সম্পন্ন করার জন্য ২-এর পরিপূরক পদ্ধতি (2's Complement method) একটি কার্যকর কৌশল, যা কম্পিউটার সিস্টেমে বিয়োগের কাজকে সহজ করে তোলে। এই পদ্ধতিতে ঋণাত্মক সংখ্যাকে তার ২-এর পরিপূরক মান দ্বারা প্রকাশ করে তারপর যোগ করা হয়, যা সরাসরি বিয়োগের ফল প্রদান করে।

উদ্দীপকের চিত্রানুযায়ী, PQ এবং QY এর মান ভিন্ন সংখ্যা পদ্ধতিতে দেওয়া আছে। PQ এর মান অক্টাল পদ্ধতিতে \((62)_8\) এবং QY এর মান ডেসিমাল পদ্ধতিতে \((41)_{10}\)। এদের মধ্যে ব্যবধান যোগের মাধ্যমে নির্ণয় করার জন্য প্রথমে উভয় সংখ্যাকে একই সংখ্যা পদ্ধতিতে, যেমন দশমিক বা বাইনারিতে রূপান্তর করতে হবে। যেহেতু ২-এর পরিপূরক পদ্ধতি সাধারণত বাইনারি সংখ্যা পদ্ধতিতে প্রয়োগ করা হয়, তাই আমরা প্রথমে উভয় সংখ্যাকে দশমিকে রূপান্তর করে নেব এবং তারপর সেগুলোকে ৮-বিট বাইনারি সংখ্যায় প্রকাশ করব।

    
• PQ এর ডেসিমাল মান নির্ণয়:
      \((62)_8 = 6 \times 8^1 + 2 \times 8^0 = 48 + 2 = (50)_{10}\)
    
• QY এর ডেসিমাল মান: \((41)_{10}\)

এখন, আমরা \((50)_{10}\) এবং \((41)_{10}\) এর ব্যবধান যোগের মাধ্যমে (২-এর পরিপূরক পদ্ধতিতে) নির্ণয় করব। এর জন্য, সংখ্যা দুটিকে ৮-বিট বাইনারি সংখ্যায় রূপান্তর করতে হবে:

    
• \((50)_{10} = (00110010)_2\)
    
• \((41)_{10} = (00101001)_2\)

এখন, আমরা \(PQ - QY\) বা \((50)_{10} - (41)_{10}\) হিসাব করব ২-এর পরিপূরক পদ্ধতির মাধ্যমে:

বিয়োগফল = \(PQ + (-QY)\)

\(PQ = (00110010)_2\)

\(QY = (00101001)_2\)

\(QY\) এর ১-এর পরিপূরক (1's complement): \((11010110)_2\)

\(QY\) এর ২-এর পরিপূরক (2's complement): \((11010110)_2 + 1 = (11010111)_2\)

এখন, PQ এর সাথে QY এর ২-এর পরিপূরক যোগ করি:

\(00110010_2\) (PQ)
\(\underline{+ 11010111_2}\) (QY এর ২-এর পরিপূরক)
\(\text{ক্যারি } \rightarrow 1 \quad 00001001_2\)

যোগফল থেকে একটি ক্যারি বিট (carry bit) উৎপন্ন হয়েছে। ৮-বিটের জন্য, ক্যারি বিটটি অগ্রাহ্য করা হয়। অবশিষ্ট ৮-বিট ফলাফল হলো \((00001001)_2\)।

এই বাইনারি সংখ্যাকে দশমিকে রূপান্তর করলে পাই:
\((00001001)_2 = 0 \times 2^7 + 0 \times 2^6 + 0 \times 2^5 + 0 \times 2^4 + 1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 8 + 1 = (9)_{10}\)

সুতরাং, উদ্দীপকের PQ ও QY এর মধ্যে ব্যবধান যোগের মাধ্যমে নির্ণয় করলে তা \((9)_{10}\) হয়। এই পদ্ধতিটি কম্পিউটারে বিয়োগ প্রক্রিয়া সম্পাদনের জন্য অত্যন্ত কার্যকরী, কারণ এটি শুধুমাত্র যোগ সার্কিট (adder circuit) ব্যবহার করে বিয়োগের কাজ সম্পন্ন করতে সক্ষম।