উদ্দীপকে উপগ্রহটিকে মহাশূন্যে পাঠানোর জন্য গতিশক্তির পরিবর্তন করতে হবে কিনা—গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ করো।

কৃত্রিম উপগ্রহের পর্যায়কাল নির্ণয়ের জন্য মহাকর্ষীয় ধ্রুবক, পৃথিবীর ভর এবং উপগ্রহটির কক্ষপথের ব্যাসার্ধ ব্যবহার করে কেপলারের তৃতীয় সূত্র থেকে প্রাপ্ত সূত্র প্রয়োগ করতে হবে। উপগ্রহটির পর্যায়কাল $T$ হলে, এর সূত্রটি হলো $T=2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$। এখানে, $r$ হলো পৃথিবীর কেন্দ্র থেকে উপগ্রহের কক্ষপথের ব্যাসার্ধ, $G$ মহাকর্ষীয় ধ্রুবক এবং $M$ পৃথিবীর ভর।

উদ্দীপক থেকে প্রাপ্ত তথ্য অনুযায়ী,

    
• পৃথিবীর ভর, $M=6\times {10}^{24}kg$
    
• পৃথিবীর ব্যাসার্ধ, $R=6.4\times {10}^6 m$
    
• ভূ-পৃষ্ঠ থেকে উপগ্রহের উচ্চতা, $h=200km=200\times {10}^3 m=0.2\times {10}^6 m$
    
• উপগ্রহের কক্ষপথের ব্যাসার্ধ, $r=R+h=(6.4\times {10}^6+0.2\times {10}^6) m=6.6\times {10}^6 m$
    
• মহাকর্ষীয় ধ্রুবক, $G=6.67\times {10}^{-11}N{m}^{2}k{g}^{-2}$

এখন, উপরিউক্ত সূত্রে মানগুলো বসিয়ে পাই,

$T=2\pi \sqrt{\frac{(6.6\times {10}^{6}m{)}^3}{(6.67\times {10}^{-11}N{m}^{2}k{g}^{-2})\times (6\times {10}^{24}kg)}}$

$T=2\pi \sqrt{\frac{287.496\times {10}^{18}}{40.02\times {10}^{13}}}$

$T=2\pi \sqrt{7.1838\times {10}^5}$

$T=2\pi \times 847.57$

$T\approx 5326.6 seconds$

সুতরাং, কৃত্রিম উপগ্রহটির পর্যায়কাল হবে প্রায় 5326.6 সেকেন্ড। এটি প্রায় 88.78 মিনিট বা 1.48 ঘণ্টার সমান। এই পর্যায়কাল নির্দেশ করে যে উপগ্রহটি পৃথিবীর চারদিকে একবার সম্পূর্ণ ঘূর্ণন সম্পন্ন করতে এই পরিমাণ সময় নেয়, যা প্রদত্ত উচ্চতায় একটি স্থিতিশীল কক্ষপথে থাকার জন্য প্রয়োজনীয়।