উপরের উদ্দীপকটি লক্ষ কর।

উত্তরঃ

কোনো উপগ্রহ একটি বৃহৎ গ্রহকে কেন্দ্র করে বৃত্তাকার পথে আবর্তন করলে, তার কক্ষপথের বেগ (orbital velocity) নির্ণয়ের জন্য মহাকর্ষীয় সূত্র ব্যবহার করা হয়। এই বেগ নির্ভর করে গ্রহের ভর (mass of the planet) এবং উপগ্রহের কক্ষপথের ব্যাসার্ধের (orbital radius) উপর। মহাকর্ষ বল উপগ্রহকে কক্ষপথে ধরে রাখার জন্য প্রয়োজনীয় কেন্দ্রমুখী বল (centripetal force) সরবরাহ করে। উপগ্রহের কক্ষপথের বেগ নির্ণয়ের সূত্রটি হলো: \(v = \sqrt{\frac{GM}{r}}\), যেখানে \(G\) হলো মহাকর্ষীয় ধ্রুবক, \(M\) হলো গ্রহের ভর এবং \(r\) হলো কক্ষপথের ব্যাসার্ধ।

উদ্দীপকের চিত্র থেকে প্রাপ্ত তথ্য অনুযায়ী,

    
• গ্রহের ভর, \(M = 1.52 \times 10^{25} \text{ kg}\)
    
• কক্ষপথের ব্যাসার্ধ, \(r = 4.5 \times 10^8 \text{ m}\)
    
• মহাকর্ষীয় ধ্রুবক, \(G = 6.674 \times 10^{-11} \text{ N m}^2 \text{ kg}^{-2}\)

এখন, উপগ্রহটির বেগ নির্ণয়ের জন্য প্রাপ্ত মানগুলো সূত্রে বসিয়ে পাই: \[v = \sqrt{\frac{GM}{r}}\] \[v = \sqrt{\frac{(6.674 \times 10^{-11} \text{ N m}^2 \text{ kg}^{-2}) \times (1.52 \times 10^{25} \text{ kg})}{4.5 \times 10^8 \text{ m}}}\] \[v = \sqrt{\frac{10.13448 \times 10^{14}}{4.5 \times 10^8}}\] \[v = \sqrt{2.252106 \times 10^6}\] \[v \approx 1500.70 \text{ m/s}\]

সুতরাং, উদ্দীপকে প্রদত্ত তথ্য অনুসারে উপগ্রহটির কক্ষপথের বেগ প্রায় \(1500.70 \text{ m/s}\) বা \(1.50 \times 10^3 \text{ m/s}\)। এই নির্দিষ্ট বেগে উপগ্রহটি গ্রহের মহাকর্ষীয় টানে স্থিতিশীলভাবে তার কক্ষপথে আবর্তন করতে সক্ষম হবে।

উত্তরঃ

হ্যাঁ, গ্রহ থেকে উপগ্রহের দিকে যাওয়ার পথে নভোযানটির উপর লব্ধি বল শূন্য হবে।

দুটি বৃহৎ ভরের বস্তুর (যেমন গ্রহ ও উপগ্রহ) মাঝে কোনো তৃতীয় বস্তুকে (নভোযান) স্থাপন করলে সেটি উভয় বস্তুর মহাকর্ষ বল দ্বারা প্রভাবিত হয়। মহাকর্ষ বল বস্তুর ভর এবং দূরত্বের উপর নির্ভরশীল। এই পরিস্থিতিতে, নভোযানের উপর লব্ধি বল তখনই শূন্য হবে যখন গ্রহ ও উপগ্রহ দ্বারা প্রযুক্ত বিপরীতমুখী মহাকর্ষ বলের মান সমান হবে। এই বিন্দুটিকে নিউট্রাল পয়েন্ট (Neutral Point) বা ভারসাম্য বিন্দু বলা হয়।

উদ্দীপক থেকে প্রাপ্ত তথ্যসমূহ হলো:

    
• গ্রহের ভর \(M_p = 1.52 \times 10^{25}\) kg
    
• উপগ্রহের ভর \(M_s = 7.5 \times 10^{25}\) kg
    
• গ্রহ থেকে উপগ্রহের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(R = 4.5 \times 10^8\) m
    
• মহাকর্ষীয় ধ্রুবক \(G = 6.674 \times 10^{-11} \, \text{N m}^2 \, \text{kg}^{-2}\)

ধরা যাক, নভোযানটির ভর \(m\) এবং গ্রহের কেন্দ্র থেকে \(x\) দূরত্বে নভোযানটির উপর লব্ধি বল শূন্য হয়। তাহলে উপগ্রহের কেন্দ্র থেকে নভোযানটির দূরত্ব হবে \((R-x)\)।

লব্ধি বল শূন্য হওয়ার শর্তানুযায়ী, নভোযানের উপর গ্রহের আকর্ষণ বল (\(F_p\)) এবং উপগ্রহের আকর্ষণ বল (\(F_s\)) সমান ও বিপরীতমুখী হবে।

অর্থাৎ, \(F_p = F_s\)

মহাকর্ষ সূত্রানুসারে:

\[G \frac{M_p m}{x^2} = G \frac{M_s m}{(R-x)^2}\]

উভয় পক্ষ থেকে \(G\) এবং \(m\) বাদ দিয়ে পাই:

\[\frac{M_p}{x^2} = \frac{M_s}{(R-x)^2}\] \[\frac{(R-x)^2}{x^2} = \frac{M_s}{M_p}\] \[\left(\frac{R-x}{x}\right)^2 = \frac{M_s}{M_p}\] \[\frac{R-x}{x} = \sqrt{\frac{M_s}{M_p}}\] \[\frac{R}{x} - 1 = \sqrt{\frac{M_s}{M_p}}\] \[\frac{R}{x} = 1 + \sqrt{\frac{M_s}{M_p}}\] \[x = \frac{R}{1 + \sqrt{\frac{M_s}{M_p}}}\]

এখন মান বসিয়ে পাই:

\[x = \frac{4.5 \times 10^8}{1 + \sqrt{\frac{7.5 \times 10^{25}}{1.52 \times 10^{25}}}}\] \[x = \frac{4.5 \times 10^8}{1 + \sqrt{\frac{7.5}{1.52}}}\] \[x = \frac{4.5 \times 10^8}{1 + \sqrt{4.9342}}\] \[x = \frac{4.5 \times 10^8}{1 + 2.2213}\] \[x = \frac{4.5 \times 10^8}{3.2213}\] \[x \approx 1.3969 \times 10^8 \, \text{m}\]

যেহেতু, \(x\) এর এই মানটি গ্রহ ও উপগ্রহের মধ্যবর্তী মোট দূরত্ব \(R\) (\(4.5 \times 10^8\) m) এর চেয়ে কম এবং একটি ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যা, তাই গ্রহ ও উপগ্রহের মধ্যবর্তী পথে \(1.3969 \times 10^8\) m দূরত্বে নভোযানটির উপর লব্ধি বল শূন্য হবে।