উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর : y4 - 79y2 + 1.

দেওয়া আছে, রাশিটি হলো:

\(4 p^2 – 1 + 2R - R^2\)

প্রথমে রাশিটিকে সাজিয়ে লিখি:

\(4 p^2 - (R^2 - 2R + 1)\)

লক্ষ্য করি, ব্র্যাকেটের ভেতরের অংশটি \((R-1)^2\) এর সূত্র:

\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)

সুতরাং, \((R^2 - 2R + 1) = (R-1)^2\)

এখন রাশিটি হবে:

\(4 p^2 - (R-1)^2\)

আমরা জানি, \(4p^2\) কে \((2p)^2\) লেখা যায়। তাহলে রাশিটি দাঁড়ায়:

\((2p)^2 - (R-1)^2\)

এটি \((a^2 - b^2)\) আকারের একটি রাশি, যেখানে \(a = 2p\) এবং \(b = (R-1)\)।

আমরা জানি, \((a^2 - b^2) = (a+b)(a-b)\)

সুতরাং, রাশিটির উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই:

\((2p + (R-1))(2p - (R-1))\)

বন্ধনী তুলে দিলে পাই:

\((2p + R - 1)(2p - R + 1)\)

দেওয়া আছে,

\(x^4 - 38x^2 + 1 = 0\)

যেহেতু \(x > 0\), তাই \(x^2 \neq 0\)। উভয়পক্ষকে \(x^2\) দ্বারা ভাগ করে পাই,

\(\frac{x^4}{x^2} - \frac{38x^2}{x^2} + \frac{1}{x^2} = 0\)

\(x^2 - 38 + \frac{1}{x^2} = 0\)

\(x^2 + \frac{1}{x^2} = 38 \qquad (1)\)

এখন, আমরা \(x^2\) এর মান নির্ণয় করব। (1) নং সমীকরণকে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ হিসেবে লেখা যায়:

\((x^2)^2 - 38(x^2) + 1 = 0\)

এখানে, \(y = x^2\) ধরে পাই,

\(y^2 - 38y + 1 = 0\)

দ্বিঘাত সমীকরণের সূত্র \(y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) ব্যবহার করে পাই,

\(y = \frac{-(-38) \pm \sqrt{(-38)^2 - 4(1)(1)}}{2(1)}\)

\(y = \frac{38 \pm \sqrt{1444 - 4}}{2}\)

\(y = \frac{38 \pm \sqrt{1440}}{2}\)

\(\sqrt{1440} = \sqrt{144 \times 10} = 12\sqrt{10}\)

সুতরাং, \(y = \frac{38 \pm 12\sqrt{10}}{2}\)

\(y = 19 \pm 6\sqrt{10}\)

অতএব, \(x^2 = 19 + 6\sqrt{10}\) অথবা \(x^2 = 19 - 6\sqrt{10}\)

যেহেতু \(x > 0\), উভয় মানই সম্ভাব্য। আমরা \(x^2 = 19 + 6\sqrt{10}\) ধরে সমাধান করব।

যদি \(x^2 = 19 + 6\sqrt{10}\) হয়, তাহলে,

\(\frac{1}{x^2} = \frac{1}{19 + 6\sqrt{10}}\)

\(= \frac{19 - 6\sqrt{10}}{(19 + 6\sqrt{10})(19 - 6\sqrt{10})}\)

\(= \frac{19 - 6\sqrt{10}}{19^2 - (6\sqrt{10})^2}\)

\(= \frac{19 - 6\sqrt{10}}{361 - 360}\)

\(= 19 - 6\sqrt{10}\)

এখন, \(x^4\) এর মান নির্ণয় করি:

\(x^4 = (x^2)^2 = (19 + 6\sqrt{10})^2\)

\(= 19^2 + 2 \cdot 19 \cdot 6\sqrt{10} + (6\sqrt{10})^2\)

\(= 361 + 228\sqrt{10} + 36 \times 10\)

\(= 361 + 228\sqrt{10} + 360\)

\(= 721 + 228\sqrt{10}\)

এবং \(\frac{1}{x^4}\) এর মান নির্ণয় করি:

\(\frac{1}{x^4} = (\frac{1}{x^2})^2 = (19 - 6\sqrt{10})^2\)

\(= 19^2 - 2 \cdot 19 \cdot 6\sqrt{10} + (6\sqrt{10})^2\)

\(= 361 - 228\sqrt{10} + 360\)

\(= 721 - 228\sqrt{10}\)

এরপর, \(x^8\) এর মান নির্ণয় করি:

\(x^8 = (x^4)^2 = (721 + 228\sqrt{10})^2\)

\(= 721^2 + 2 \cdot 721 \cdot 228\sqrt{10} + (228\sqrt{10})^2\)

\(= 519841 + 328716\sqrt{10} + 51984 \times 10\)

\(= 519841 + 328716\sqrt{10} + 519840\)

\(= 1039681 + 328716\sqrt{10}\)

সবশেষে, \(x^8 - \frac{1}{x^4}\) এর মান নির্ণয় করি:

\(x^8 - \frac{1}{x^4} = (1039681 + 328716\sqrt{10}) - (721 - 228\sqrt{10})\)

\(= 1039681 + 328716\sqrt{10} - 721 + 228\sqrt{10}\)

\(= (1039681 - 721) + (328716 + 228)\sqrt{10}\)

\(= 1038960 + 328944\sqrt{10}\)

উদ্দীপকের (ii) নং সমীকরণ থেকে \(a^2\) এর মান ব্যবহার করে \(a + \frac{1}{a}\) এবং সংশ্লিষ্ট পদগুলোর মান নির্ণয় করে প্রদত্ত রাশি \(a^5 + \frac{1}{a^5}\) এর মান 6726 প্রমাণ করতে হবে। প্রশ্নটিতে "a⁴+1/a⁵" উল্লেখ থাকলেও, এর মান 6726 প্রমাণ করতে হলে রাশিটি "a⁵+1/a⁵" হওয়া যুক্তিযুক্ত, যা প্রমাণে দেখানো হলো।

দেওয়া আছে, উদ্দীপক (ii) থেকে: \(a^2 = 17 + 12\sqrt{2}\) [যখন \(a > 0\)]
প্রথমে, \(17 + 12\sqrt{2}\) কে পূর্ণবর্গ আকারে প্রকাশ করি:
\(17 + 12\sqrt{2} = 9 + 8 + 2 \cdot 3 \cdot 2\sqrt{2}\)
\(= 3^2 + (2\sqrt{2})^2 + 2 \cdot 3 \cdot 2\sqrt{2}\)
\(= (3 + 2\sqrt{2})^2\)
যেহেতু \(a > 0\), সেহেতু \(a = \sqrt{(3 + 2\sqrt{2})^2} = 3 + 2\sqrt{2}\)

এখন, \(\frac{1}{a}\) নির্ণয় করি:
\(\frac{1}{a} = \frac{1}{3 + 2\sqrt{2}}\)
\(= \frac{1 \cdot (3 - 2\sqrt{2})}{(3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2})}\)
\(= \frac{3 - 2\sqrt{2}}{3^2 - (2\sqrt{2})^2}\)
\(= \frac{3 - 2\sqrt{2}}{9 - 8}\)
\(= 3 - 2\sqrt{2}\)

সুতরাং, \(a + \frac{1}{a} = (3 + 2\sqrt{2}) + (3 - 2\sqrt{2}) = 6\)

এখন, \(a^2 + \frac{1}{a^2}\) এর মান নির্ণয় করি:
\(a^2 + \frac{1}{a^2} = (a + \frac{1}{a})^2 - 2\)
\(= (6)^2 - 2\)
\(= 36 - 2 = 34\)

এরপর, \(a^3 + \frac{1}{a^3}\) এর মান নির্ণয় করি:
\(a^3 + \frac{1}{a^3} = (a + \frac{1}{a})((a^2 + \frac{1}{a^2}) - 1)\)
\(= 6 \cdot (34 - 1)\)
\(= 6 \cdot 33 = 198\)

সর্বশেষে, প্রদত্ত রাশি (সংশোধিত) \(a^5 + \frac{1}{a^5}\) এর মান নির্ণয় করি:
\(a^5 + \frac{1}{a^5} = (a^2 + \frac{1}{a^2})(a^3 + \frac{1}{a^3}) - (a + \frac{1}{a})\)
\(= (34)(198) - 6\)
\(= 6732 - 6\)
\(= 6726\)

উপরোক্ত বিশ্লেষণের মাধ্যমে দেখা যায় যে, উদ্দীপকের (ii) নং তথ্যের সাহায্যে \(a^5 + \frac{1}{a^5}\) এর মান 6726 হয়। অতএব, প্রশ্নোক্ত রাশি \(a^4+\frac{1}{a^5}\) যদি মুদ্রণ ত্রুটি সংশোধন করে \(a^5+\frac{1}{a^5}\) ধরা হয়, তবে তা প্রমাণিত হয়। (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,

\[a^4 = 527 - \frac{1}{a^4}\]

বা, \[a^4 + \frac{1}{a^4} = 527\]

আমরা জানি,

\[{\left( {{a^2} + \frac{1}{{{a^2}}}} \right)^2} = {\left( {{a^2}} \right)^2} + 2 \cdot {a^2} \cdot \frac{1}{{{a^2}}} + {\left( {\frac{1}{{{a^2}}}} \right)^2}\]

\[{\left( {{a^2} + \frac{1}{{{a^2}}}} \right)^2} = {a^4} + 2 + \frac{1}{{{a^4}}}\]

\[{\left( {{a^2} + \frac{1}{{{a^2}}}} \right)^2} = \left( {{a^4} + \frac{1}{{{a^4}}}} \right) + 2\]

মান বসিয়ে পাই,

\[{\left( {{a^2} + \frac{1}{{{a^2}}}} \right)^2} = 527 + 2\]

\[{\left( {{a^2} + \frac{1}{{{a^2}}}} \right)^2} = 529\]

\[{a^2} + \frac{1}{{{a^2}}} = \sqrt{529}\]

\[{a^2} + \frac{1}{{{a^2}}} = 23\]

আবার, আমরা জানি,

\[{\left( {a + \frac{1}{a}} \right)^2} = {a^2} + 2 \cdot a \cdot \frac{1}{a} + {\left( {\frac{1}{a}} \right)^2}\]

\[{\left( {a + \frac{1}{a}} \right)^2} = {a^2} + 2 + \frac{1}{{{a^2}}}\]

\[{\left( {a + \frac{1}{a}} \right)^2} = \left( {{a^2} + \frac{1}{{{a^2}}}} \right) + 2\]

মান বসিয়ে পাই,

\[{\left( {a + \frac{1}{a}} \right)^2} = 23 + 2\]

\[{\left( {a + \frac{1}{a}} \right)^2} = 25\]

\[a + \frac{1}{a} = \sqrt{25}\]

\[a + \frac{1}{a} = 5\]

এখন, বামপক্ষ (L.H.S.) = \[{a^3} + \frac{1}{{{a^3}}}\]

\[ = {\left( {a + \frac{1}{a}} \right)^3} - 3 \cdot a \cdot \frac{1}{a}\left( {a + \frac{1}{a}} \right)\]

\[ = {\left( {a + \frac{1}{a}} \right)^3} - 3\left( {a + \frac{1}{a}} \right)\]

মান বসিয়ে পাই,

\[ = {\left( 5 \right)^3} - 3\left( 5 \right)\]

\[ = 125 - 15\]

\[ = 110\]

\[ = \] ডানপক্ষ (R.H.S.)

সুতরাং, \[{a^3} + \frac{1}{{{a^3}}} = 110\] (প্রমাণিত)