একই দৈর্ঘ্যের তিনটি তারের ব্যাস যথাক্রমে 3mm, 4mm এবং 5mm। তার তিনটি প্রত্যেকটিতে $6\times {10}^{3}N$ বল প্রয়োগ করায় এদের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 4%, 2% এবং 1% বৃদ্ধি পেল।

তরল ও গ্যাসীয় পদার্থের নির্দিষ্ট কোনো আকার নেই এবং তারা যে পাত্রে রাখা হয় তার আকার ধারণ করে। এ কারণে তারা কোনো স্পর্শকীয় বা বিকৃতকারী পীড়ন (tangential or deforming stress) প্রতিরোধ করতে পারে না, যা দৃঢ়তার গুণাঙ্কের জন্য অপরিহার্য।

দৃঢ়তার গুণাঙ্ক (modulus of rigidity) কোনো বস্তুর আকার পরিবর্তন প্রতিরোধের ক্ষমতাকে নির্দেশ করে। যেহেতু তরল ও গ্যাসীয় পদার্থ সামান্য স্পর্শকীয় পীড়ন প্রয়োগ করলেই তাদের আকার সহজেই পরিবর্তিত হয়ে যায় বা তারা প্রবাহিত হতে শুরু করে, তাই তারা এই ধরনের পীড়নের বিরুদ্ধে কোনো দৃঢ়তা প্রদর্শন করে না। ফলস্বরূপ, তাদের দৃঢ়তার গুণাঙ্ক শূন্য হিসেবে বিবেচিত হয়।

একটি তারের ওপর বল প্রয়োগের ফলে যদি এর দৈর্ঘ্য বা আকার পরিবর্তিত হয়, তবে তার মধ্যে স্থিতিস্থাপক স্থিতিশক্তি সঞ্চিত হয়। এই সঞ্চিত শক্তি তারের প্রতি একক আয়তনে পীড়ন (stress) এবং বিকৃতির (strain) গুণফলের অর্ধেক হিসাবে প্রকাশ করা যায়। উদ্দীপকে প্রদত্ত প্রথম তারের ব্যাস, প্রযুক্ত বল এবং দৈর্ঘ্যের শতকরা বৃদ্ধি ব্যবহার করে এর একক আয়তনে সঞ্চিত শক্তি নির্ণয় করা সম্ভব।

উদ্দীপক থেকে প্রাপ্ত প্রথম তারের তথ্যসমূহ হলো:

    
• ব্যাস, d = 3 mm = \(3 \times 10^{-3}\) m
    
• প্রযুক্ত বল, F = \(6 \times 10^3\) N
    
• দৈর্ঘ্যের শতকরা বৃদ্ধি = 4%, যা বিকৃতি (\(\epsilon\)) নির্দেশ করে। সুতরাং, \(\epsilon\) = 0.04

এখন, প্রথম তারের প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল, A নির্ণয় করি:

A = \(\pi (d/2)^2 = \pi (3 \times 10^{-3} / 2)^2 = \pi (1.5 \times 10^{-3})^2 = \pi \times 2.25 \times 10^{-6}\) m\(^2\)

A \(\approx 7.06858 \times 10^{-6}\) m\(^2\)

এরপর তারটিতে সৃষ্ট পীড়ন (\(\sigma\)) নির্ণয় করি:

\(\sigma = F/A = (6 \times 10^3 \, \text{N}) / (7.06858 \times 10^{-6} \, \text{m}^2)\)

\(\sigma \approx 8.48826 \times 10^8 \, \text{N/m}^2\)

একক আয়তনে সঞ্চিত শক্তি (U) নির্ণয়ের সূত্রটি হলো:

\(U = \frac{1}{2} \times \text{পীড়ন} \times \text{বিকৃতি}\)

\(U = \frac{1}{2} \times (8.48826 \times 10^8 \, \text{N/m}^2) \times 0.04\)

\(U = 0.5 \times 8.48826 \times 10^8 \times 0.04\)

\(U \approx 1.697652 \times 10^7 \, \text{J/m}^3\)

সুতরাং, প্রথম তারের একক আয়তনে সঞ্চিত শক্তি প্রায় \(1.70 \times 10^7 \, \text{J/m}^3\)। এই শক্তি নির্দেশ করে যে তারটি তার স্থিতিস্থাপকতার সীমার মধ্যে কতটা শক্তি শোষণ করে রেখেছে, যা বল অপসারণের পর তারটিকে পূর্বাবস্থায় ফিরিয়ে আনতে সহায়তা করে।

স্থিতিস্থাপকতা হলো বস্তুর এমন একটি ধর্ম যার কারণে বাহ্যিক বল প্রয়োগে বস্তুর আকার বা আয়তনের পরিবর্তন ঘটলে বল অপসারণের পর বস্তুটি আবার পূর্বাবস্থায় ফিরে আসতে চায়। কঠিন বস্তুর স্থিতিস্থাপকতা পরিমাপের জন্য ইয়ং এর গুণাঙ্ক (Young's Modulus) ব্যবহার করা হয়। যে তারের ইয়ং এর গুণাঙ্ক বেশি, তার স্থিতিস্থাপকতা বেশি। উদ্দীপকের দ্বিতীয় ও তৃতীয় তারের ইয়ং এর গুণাঙ্ক নির্ণয় করে তাদের স্থিতিস্থাপকতা তুলনা করা হলো।

আমরা জানি, ইয়ং এর গুণাঙ্ক \(Y = \frac{\text{পীড়ন}}{\text{বিকৃতি}}\)।

যেখানে, পীড়ন (Stress) \( = \frac{\text{প্রয়োগকৃত বল}}{\text{প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল}} = \frac{F}{A}\)

এবং বিকৃতি (Strain) \( = \frac{\text{দৈর্ঘ্য পরিবর্তন}}{\text{আদি দৈর্ঘ্য}} = \frac{e}{L}\)

সুতরাং, \(Y = \frac{F/A}{e/L} = \frac{FL}{Ae}\)

প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল \(A = \pi r^2 = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{4}\), যেখানে d হলো তারের ব্যাস।

এবং বিকৃতিকে শতকরা দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি হিসেবে প্রকাশ করা হলে, \(\frac{e}{L} = \frac{\text{% দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি}}{100}\)

সুতরাং, \(Y = \frac{F/A}{\text{% দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি}/100} = \frac{100F}{A \cdot (\text{% দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি})}\)

উদ্দীপক থেকে প্রাপ্ত তথ্য:

    
• প্রয়োগকৃত বল \(F = 6 \times 10^3 N\) (উভয় তারের জন্য)
    
• আদি দৈর্ঘ্য L (উভয় তারের জন্য সমান)

দ্বিতীয় তারের জন্য:

    
• ব্যাস \(d_2 = 4 \text{mm} = 4 \times 10^{-3} \text{m}\)
    
• প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল \(A_2 = \frac{\pi d_2^2}{4} = \frac{\pi (4 \times 10^{-3})^2}{4} = \frac{\pi \times 16 \times 10^{-6}}{4} = 4\pi \times 10^{-6} \text{m}^2\)
    
• দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি = 2%

দ্বিতীয় তারের ইয়ং এর গুণাঙ্ক,

\[Y_2 = \frac{100F}{A_2 \cdot (\text{% দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি})} = \frac{100 \times (6 \times 10^3)}{(4\pi \times 10^{-6}) \times 2}\]

\[Y_2 = \frac{600 \times 10^3}{8\pi \times 10^{-6}} = \frac{75}{\pi} \times 10^9 \text{Nm}^{-2} \approx 23.87 \times 10^9 \text{Nm}^{-2}\]

তৃতীয় তারের জন্য:

    
• ব্যাস \(d_3 = 5 \text{mm} = 5 \times 10^{-3} \text{m}\)
    
• প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল \(A_3 = \frac{\pi d_3^2}{4} = \frac{\pi (5 \times 10^{-3})^2}{4} = \frac{\pi \times 25 \times 10^{-6}}{4} = 6.25\pi \times 10^{-6} \text{m}^2\)
    
• দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি = 1%

তৃতীয় তারের ইয়ং এর গুণাঙ্ক,

\[Y_3 = \frac{100F}{A_3 \cdot (\text{% দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি})} = \frac{100 \times (6 \times 10^3)}{(6.25\pi \times 10^{-6}) \times 1}\]

\[Y_3 = \frac{600 \times 10^3}{6.25\pi \times 10^{-6}} = \frac{96}{\pi} \times 10^9 \text{Nm}^{-2} \approx 30.56 \times 10^9 \text{Nm}^{-2}\]

পর্যবেক্ষণে দেখা যাচ্ছে যে, \(Y_3 \approx 30.56 \times 10^9 \text{Nm}^{-2}\) এবং \(Y_2 \approx 23.87 \times 10^9 \text{Nm}^{-2}\)। যেহেতু \(Y_3 > Y_2\), তাই উদ্দীপকের তৃতীয় তারটির স্থিতিস্থাপকতা দ্বিতীয় তারের চেয়ে বেশি। গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণের মাধ্যমে এটি প্রমাণিত হলো।