একজন ছাত্র 0.1 kg ভরের একটি পাথরখণ্ডকে 0.20 m লম্বা একটি সুতার এক প্রান্তে বেঁধে বৃত্তাকার পথে প্রতি মিনিটে 60 বার ঘুরাতে পারে। পরবর্তীতে সে সুতার দৈর্ঘ্য ও গুণ করে একইভাবে ঘুরাতে চেয়েছিল। সুতাটি সর্বোচ্চ 2N বল সহ্য করতে পারে।

উত্তরঃ এক নিউটন বল হলো সেই পরিমাণ বল যা 1 kg ভরের কোনো বস্তুর উপর প্রযুক্ত হয়ে 1 m/s² ত্বরণ সৃষ্টি করে।

উত্তরঃ

দ্রুত দরজা খোলার জন্য বল দরজার কব্জা থেকে সবচেয়ে দূরে অর্থাৎ হাতলের কাছে প্রয়োগ করতে হয়।

এর কারণ হলো, একটি বস্তুকে ঘোরাতে ঘূর্ণন বল বা টর্ক (Torque) প্রয়োজন হয়, যা প্রযুক্ত বল এবং ঘূর্ণন অক্ষ থেকে বলের প্রয়োগবিন্দুর লম্ব দূরত্বের গুণফলের সমান। দরজার কব্জা হলো তার ঘূর্ণন অক্ষ। যত বেশি লম্ব দূরত্বে বল প্রয়োগ করা হয়, টর্ক তত বেশি উৎপন্ন হয় এবং অল্প বল প্রয়োগ করেও দরজা দ্রুত ও সহজে খোলা যায়। তাই হাতলের কাছে বল প্রয়োগ করলে সর্বোচ্চ লম্ব দূরত্ব পাওয়া যায় এবং প্রয়োজনীয় টর্ক তৈরি হয়।

উত্তরঃ

উদ্দীপকে উল্লিখিত পাথরখণ্ডটির ভর \(m = 0.1 \text{ kg}\), সুতার দৈর্ঘ্য বা ঘূর্ণন ব্যাসার্ধ \(r = 0.20 \text{ m}\) এবং ঘূর্ণন ফ্রিকোয়েন্সি \(f = 60 \text{ বার/মিনিট} = 1 \text{ Hz}\)। কোনো বস্তু বৃত্তাকার পথে ঘুরলে তার গতিশক্তিকে ঘূর্ণন গতিশক্তি (Rotational Kinetic Energy) বলে, যা \(E_k = \frac{1}{2}mv^2\) সূত্র দ্বারা নির্ণয় করা যায়, যেখানে \(m\) বস্তুর ভর এবং \(v\) তার রৈখিক বেগ (Linear Velocity)।

পাথরখণ্ডটির ঘূর্ণন গতিশক্তি নির্ণয়ের জন্য প্রথমে তার রৈখিক বেগ \(v\) বের করতে হবে। রৈখিক বেগ নির্ণয়ের জন্য প্রথমে কৌণিক বেগ (\(\omega\)) বের করা প্রয়োজন। কৌণিক বেগ \(\omega = 2\pi f\) সূত্র ব্যবহার করে পাই, \(\omega = 2\pi \times 1 = 2\pi \text{ rad/s}\)। এখন, রৈখিক বেগ \(v = r\omega\) সূত্র ব্যবহার করে পাই, \(v = 0.20 \times 2\pi = 0.4\pi \text{ m/s}\)। এই রৈখিক বেগের মান গতিশক্তির সূত্রে বসিয়ে ঘূর্ণন গতিশক্তি পাওয়া যাবে।

অতএব, পাথরখণ্ডটির ঘূর্ণন গতিশক্তি হলো:

\(E_k = \frac{1}{2}mv^2\)

\(E_k = \frac{1}{2} \times 0.1 \text{ kg} \times (0.4\pi \text{ m/s})^2\)

\(E_k = \frac{1}{2} \times 0.1 \times 0.16\pi^2 \text{ J}\)

\(E_k = 0.008\pi^2 \text{ J}\)

প্রায় \(E_k \approx 0.008 \times (3.14159)^2 \approx 0.008 \times 9.8696 \approx 0.07896 \text{ J}\)

সুতরাং, উদ্দীপকের পাথরখণ্ডটির ঘূর্ণন গতিশক্তি হলো প্রায় 0.079 J।

উত্তরঃ

বৃত্তাকার পথে ঘূর্ণায়মান বস্তুর জন্য প্রয়োজনীয় কেন্দ্রমুখী বল সুতার টান দ্বারা সরবরাহ হয়। উদ্দীপকে একজন ছাত্র একটি পাথরখণ্ডকে নির্দিষ্ট ভরের, সুতার দৈর্ঘ্যের এবং ঘূর্ণন সংখ্যা দিয়ে ঘুরাচ্ছিল। পরবর্তীতে সে সুতার দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ করে একইভাবে ঘুরাতে চেয়েছিল। তার এই প্রচেষ্টা সফল হয়েছিল কি না তা গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ করতে হলে উভয় ক্ষেত্রেই প্রয়োজনীয় কেন্দ্রমুখী বল নির্ণয় করে সুতার সর্বোচ্চ সহনীয় বলের সাথে তুলনা করতে হবে।

প্রথম ক্ষেত্রে, পাথরখণ্ডের ভর \(m = 0.1 \, \text{kg}\), সুতার দৈর্ঘ্য (ব্যাসার্ধ) \(r_1 = 0.20 \, \text{m}\)। প্রতি মিনিটে 60 বার ঘোরানো হয়, সুতরাং ঘূর্ণন সংখ্যা \(f = \frac{60}{60} = 1 \, \text{Hz}\)। কৌণিক বেগ \(\omega = 2\pi f = 2\pi \times 1 = 2\pi \, \text{rad/s}\)।

প্রথম ক্ষেত্রে প্রয়োজনীয় কেন্দ্রমুখী বল,

\[ F_1 = m\omega^2 r_1 \] \[ F_1 = 0.1 \times (2\pi)^2 \times 0.20 \] \[ F_1 = 0.1 \times 4\pi^2 \times 0.20 \] \[ F_1 = 0.08 \times (3.1416)^2 \] \[ F_1 \approx 0.08 \times 9.8696 \approx 0.7896 \, \text{N} \]

দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, সুতার দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ করা হলো, সুতরাং নতুন ব্যাসার্ধ \(r_2 = 2 \times r_1 = 2 \times 0.20 = 0.40 \, \text{m}\)। "একইভাবে ঘুরাতে চেয়েছিল" বলতে এখানে একই ঘূর্ণন সংখ্যা বা কৌণিক বেগে ঘোরানোর কথা বলা হয়েছে। সুতরাং, \(f = 1 \, \text{Hz}\) এবং \(\omega = 2\pi \, \text{rad/s}\)।

দ্বিতীয় ক্ষেত্রে প্রয়োজনীয় কেন্দ্রমুখী বল,

\[ F_2 = m\omega^2 r_2 \] \[ F_2 = 0.1 \times (2\pi)^2 \times 0.40 \] \[ F_2 = 0.1 \times 4\pi^2 \times 0.40 \] \[ F_2 = 0.16 \times (3.1416)^2 \] \[ F_2 \approx 0.16 \times 9.8696 \approx 1.579 \, \text{N} \]

উদ্দীপকে উল্লিখিত আছে যে সুতাটি সর্বোচ্চ 2N বল সহ্য করতে পারে। দ্বিতীয় ক্ষেত্রে পাথরখণ্ডটিকে একই কৌণিক বেগে দ্বিগুণ দৈর্ঘ্যের সুতা দিয়ে ঘোরাতে প্রয়োজনীয় কেন্দ্রমুখী বল হলো \(F_2 \approx 1.579 \, \text{N}\)। যেহেতু এই বল সুতার সর্বোচ্চ সহনীয় বল (2N) অপেক্ষা কম (\(1.579 \, \text{N} < 2 \, \text{N}\)), তাই সুতাটি ছিঁড়বে না। সুতরাং, ছাত্রটি সফল হতে পেরেছিল।