একজন ডুবুরি একটি গ্যাস ভর্তি বেলুনকে 10m গভীর হ্রদের তলদেশে নিয়ে গেল এবং হ্রদের তলদেশে বেলুনের আয়তন উপরিপৃষ্ঠের অর্ধেক বলে মন্তব্য করল। বায়ুমণ্ডলের চাপ 10^-5Nm^-2 এবং হ্রদের পানির ঘনত্ব 1000kgm^-3

কেলভিন স্কেলে তাপমাত্রা -273.15° সেলসিয়াস স্কেলে 0° সেলসিয়াস কে পরম শূন্য তাপমাত্রা বলে

হ্রদের তলদেশে কোনো বস্তুর উপর ক্রিয়াশীল মোট চাপ হলো বায়ুমণ্ডলীয় চাপ এবং হ্রদের পানির স্তম্ভের চাপ এর সমষ্টি। তরলের গভীরে চাপ নির্ণয়ের সূত্রটি হলো \(P = P_{atm} + \rho gh\), যেখানে \(P_{atm}\) হলো বায়ুমণ্ডলীয় চাপ, \(\rho\) হলো তরলের ঘনত্ব, \(g\) হলো অভিকর্ষজ ত্বরণ এবং \(h\) হলো গভীরতা। এই সূত্র ব্যবহার করে ডুবুরির নিয়ে যাওয়া বেলুনের উপর ক্রিয়াশীল মোট চাপ নির্ণয় করা সম্ভব।

উদ্দীপকে প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী, হ্রদের গভীরতা \(h = 10\) m, বায়ুমণ্ডলীয় চাপ \(P_{atm} = 10^{-5}\) Nm\(^{-2}\) এবং হ্রদের পানির ঘনত্ব \(\rho = 1000\) kgm\(^{-3}\)। অভিকর্ষজ ত্বরণ \(g = 9.8\) ms\(^{-2}\) ধরা হয়। ডুবুরি যখন বেলুনটিকে হ্রদের তলদেশে নিয়ে যায়, তখন বেলুনটি এই মোট চাপের অধীনে থাকে, যার ফলে এর আয়তন পরিবর্তিত হয়। এই মানগুলো প্রয়োগ করে হ্রদের তলদেশে বেলুনের উপর ক্রিয়াশীল মোট চাপ নির্ণয় করা যায়।

প্রদত্ত মানগুলো চাপ নির্ণয়ের সূত্রে বসিয়ে পাই:

\(P = P_{atm} + \rho gh\)

\(P = 10^{-5} + (1000 \times 9.8 \times 10)\)

\(P = 10^{-5} + 98000\)

\(P = 0.00001 + 98000\)

\(P = 98000.00001\) Nm\(^{-2}\) (প্রায়)

সুতরাং, উদ্দীপকের হ্রদের তলদেশে বেলুনের উপর ক্রিয়াশীল চাপ হলো প্রায় 98000 Nm\(^{-2}\)। এই চাপের কারণেই বেলুনটির আয়তন উপরিপৃষ্ঠের অর্ধেক হয়েছে।

উদ্দীপকে একজন ডুবুরি হ্রদের তলদেশে বেলুনের আয়তন উপরিপৃষ্ঠের আয়তনের অর্ধেক বলে মন্তব্য করেছে। গাণিতিক বিশ্লেষণের মাধ্যমে ডুবুরির এই মন্তব্যের যথার্থতা যাচাই করা হলো।

গ্যাসের আয়তন এবং চাপের সম্পর্ক বয়েলের সূত্র দ্বারা ব্যাখ্যা করা হয়। বয়েলের সূত্রানুযায়ী, নির্দিষ্ট তাপমাত্রায় নির্দিষ্ট ভরের গ্যাসের আয়তন তার চাপের ব্যস্তানুপাতিক। অর্থাৎ, \(P_1 V_1 = P_2 V_2\), যেখানে \(P_1\) ও \(V_1\) হলো আদি চাপ ও আয়তন এবং \(P_2\) ও \(V_2\) হলো শেষ চাপ ও আয়তন। এই সমস্যা সমাধানের জন্য হ্রদের উপরিপৃষ্ঠ ও তলদেশের চাপ নির্ণয় করতে হবে।

উদ্দীপকে প্রদত্ত তথ্যসমূহ হলো:

    
• হ্রদের গভীরতা, \(h = 10 \, \text{m}\)
    
• হ্রদের পানির ঘনত্ব, \(\rho = 1000 \, \text{kgm}^{-3}\)
    
• বায়ুমণ্ডলের চাপ, \(P_{atm} = 10^{-5} \, \text{Nm}^{-2}\)
    
• অভিকর্ষজ ত্বরণ, \(g = 9.8 \, \text{ms}^{-2}\) (প্রমিত মান)

বেলুনটি হ্রদের উপরিপৃষ্ঠে থাকাকালীন চাপ (\(P_1\)) হবে বায়ুমণ্ডলের চাপের সমান।

\(P_1 = P_{atm} = 10^{-5} \, \text{Nm}^{-2}\)

বেলুনটি হ্রদের তলদেশে থাকাকালীন চাপ (\(P_2\)) হবে বায়ুমণ্ডলের চাপ এবং হ্রদের পানির স্তম্ভের চাপের যোগফল।

হ্রদের পানির স্তম্ভের চাপ, \(P_h = \rho g h\)

\(P_h = 1000 \, \text{kgm}^{-3} \times 9.8 \, \text{ms}^{-2} \times 10 \, \text{m}\)

\(P_h = 98000 \, \text{Nm}^{-2}\)

অতএব, হ্রদের তলদেশের মোট চাপ, \(P_2 = P_{atm} + P_h\)

\(P_2 = 10^{-5} + 98000 \, \text{Nm}^{-2}\)

\(P_2 = 0.00001 + 98000 \, \text{Nm}^{-2}\)

\(P_2 = 98000.00001 \, \text{Nm}^{-2}\)

এখন, বয়েলের সূত্র (\(P_1 V_1 = P_2 V_2\)) ব্যবহার করে তলদেশে বেলুনের আয়তন (\(V_2\)) উপরিপৃষ্ঠের আয়তন (\(V_1\)) এর কত গুণ তা নির্ণয় করা যাক:

\(\frac{V_2}{V_1} = \frac{P_1}{P_2}\)

\(\frac{V_2}{V_1} = \frac{10^{-5}}{98000.00001}\)

\(\frac{V_2}{V_1} = \frac{0.00001}{98000.00001}\)

\(\frac{V_2}{V_1} \approx 1.0204 \times 10^{-10}\)

অর্থাৎ, গাণিতিকভাবে প্রাপ্ত ফলাফল অনুযায়ী, \(V_2 \approx (1.0204 \times 10^{-10}) V_1\)।

ডুবুরির মন্তব্য ছিল যে, হ্রদের তলদেশে বেলুনের আয়তন উপরিপৃষ্ঠের আয়তনের অর্ধেক হবে, অর্থাৎ \(V_2 = \frac{1}{2} V_1 = 0.5 V_1\)। কিন্তু আমাদের গাণিতিক বিশ্লেষণে দেখা যাচ্ছে যে, \(V_2\) এর মান \(V_1\) এর প্রায় \(10^{-10}\) গুণ। এই দুটি মানের মধ্যে বিস্তর পার্থক্য রয়েছে। সুতরাং, গাণিতিক বিশ্লেষণ অনুযায়ী ডুবুরির মন্তব্যটি যথার্থ নয়। এক্ষেত্রে, বায়ুমণ্ডলের চাপ অত্যন্ত কম (সাধারণ মানের থেকে অনেক ভিন্ন) ধরা হয়েছে, যার কারণে বেলুনের আয়তনের হ্রাস অস্বাভাবিকরকম বেশি হচ্ছে।