একজন সাইকেল আরোহী $15 m{s}^{-1}$ বেগে একটি রাস্তার বাঁক অতিক্রম করার সময় উলম্বের সাথে 20° কোণে হেলে যায়। এ সময় সাইকেলের উপর রাস্তার মোট প্রতিক্রিয়া বলের মান ছিল 1147.18 N, সাইকেলের ভর 35 kg এবং অভিকর্ষজ ত্বরণ 9.8 ms^-2। উপরোক্ত তথ্যগুলো বিশ্লেষণ করে একজন শিক্ষার্থী মন্তব্য করলেন সাইকেল আরোহীর ভর 75 kg।

ভিন্ন তলে অবস্থিত তিনটি ভেক্টর রাশির লব্ধি কখনোই শূন্য হতে পারে না। কারণ, তিনটি ভেক্টরের লব্ধি শূন্য হওয়ার জন্য ভেক্টরগুলোকে অবশ্যই সমতলীয় (coplanar) হতে হয়। যদি ভেক্টরগুলো ভিন্ন ভিন্ন তলে (non-coplanar) থাকে, তবে তাদের উপাংশগুলো সকল দিকে একে অপরের প্রভাবকে সম্পূর্ণভাবে বাতিল করতে পারে না।

দুটি ভেক্টরের লব্ধি সর্বদা তাদের দ্বারা গঠিত তলের উপর অবস্থিত হবে। তৃতীয় ভেক্টরটি যদি এই তল থেকে ভিন্ন কোনো তলে থাকে, তবে এটি প্রথম দুটি ভেক্টরের লব্ধির সঙ্গে একই সমতলে না থাকায় কখনোই লব্ধি শূন্য করতে পারবে না। লব্ধি শূন্য হওয়ার জন্য প্রতিটি ভেক্টরের উপাংশগুলোর যোগফল শূন্য হওয়া আবশ্যক, যা ভিন্ন তলে অবস্থিত ভেক্টরগুলোর ক্ষেত্রে সম্ভব নয়।

রাস্তার বাঁকে সাইকেল আরোহী বাঁক নেওয়ার সময় উলম্বের সাথে হেলে থাকলে, তার বেগ, অভিকর্ষজ ত্বরণ এবং হেলে থাকার কোণের উপর ভিত্তি করে রাস্তার বক্রতার ব্যাসার্ধ নির্ণয় করা যায়। এই পরিস্থিতিতে, আরোহীর উপর রাস্তার মোট প্রতিক্রিয়া বলের অনুভূমিক উপাংশ প্রয়োজনীয় কেন্দ্রমুখী বল যোগান দেয়, যা তাকে বাঁক অতিক্রম করতে সাহায্য করে।

বাঁকা পথে সাইকেল আরোহীর হেলে থাকার ক্ষেত্রে, রাস্তার বক্রতার ব্যাসার্ধ \(r\), আরোহীর বেগ \(v\), অভিকর্ষজ ত্বরণ \(g\) এবং উলম্বের সাথে হেলে থাকার কোণ \(\theta\) এর মধ্যে সম্পর্কটি হলো:

\( \tan\theta = \frac{v^2}{rg} \)

বা, \( r = \frac{v^2}{g \tan\theta} \)

উদ্দীপক থেকে প্রাপ্ত মানগুলো হলো:

    
• আরোহীর বেগ, \(v = 15 \, \text{m/s}\)
    
• উলম্বের সাথে হেলে থাকার কোণ, \(\theta = 20^\circ\)
    
• অভিকর্ষজ ত্বরণ, \(g = 9.8 \, \text{m/s}^2\)

উপরোক্ত মানগুলো সূত্রে বসিয়ে পাই:

\( r = \frac{(15 \, \text{m/s})^2}{(9.8 \, \text{m/s}^2) \times \tan(20^\circ)} \)

\( r = \frac{225 \, \text{m}^2/\text{s}^2}{(9.8 \, \text{m/s}^2) \times 0.36397} \)

\( r = \frac{225}{3.566906} \)

\( r \approx 63.078 \, \text{m} \)

সুতরাং, রাস্তাটির বাঁকের বক্রতার ব্যাসার্ধ প্রায় 63.08 মিটার।

উদ্দীপকে প্রদত্ত তথ্যানুযায়ী, একজন সাইকেল আরোহী একটি বাঁকে হেলে পড়ার সময় সাইকেলের উপর রাস্তার মোট প্রতিক্রিয়া বল, সাইকেলের বেগ, উল্লম্বের সাথে কোণ এবং সাইকেলের ভর দেওয়া আছে। একজন শিক্ষার্থী মন্তব্য করেছেন যে সাইকেল আরোহীর ভর 75 kg। এই মন্তব্যের যথার্থতা যাচাই করার জন্য গাণিতিক বিশ্লেষণ প্রয়োজন। এই পরিস্থিতিটি বৃত্তাকার পথে গতির (Circular Motion) ক্ষেত্রে অনুভূমিকের সাথে একটি নির্দিষ্ট কোণে হেলান (Banking) এর ধারণার সাথে সম্পর্কিত।

যখন একজন সাইকেল আরোহী একটি বাঁক অতিক্রম করার জন্য হেলে পড়েন, তখন রাস্তার মোট প্রতিক্রিয়া বলের একটি উল্লম্ব উপাংশ (Vertical Component) আরোহী ও সাইকেলের মোট ওজনকে ভারসাম্য করে।

এখানে,
মোট প্রতিক্রিয়া বল, \(R = 1147.18 \text{ N}\)
উল্লম্বের সাথে কোণ, \(\theta = 20^\circ\)
অভিকর্ষজ ত্বরণ, \(g = 9.8 \text{ m/s}^2\)
সাইকেলের ভর, \(m_{সাইকেল} = 35 \text{ kg}\)

ধরি, সাইকেল আরোহীর ভর \(m_{আরোহী}\)।
সুতরাং, মোট ভর \(M = m_{আরোহী} + m_{সাইকেল}\)।

উল্লম্ব উপাংশ থেকে পাই:

\(R \cos \theta = M g\)

বা, \(M = \frac{R \cos \theta}{g}\)

মান বসিয়ে পাই,

\(M = \frac{1147.18 \times \cos(20^\circ)}{9.8}\)

\(M = \frac{1147.18 \times 0.93969}{9.8}\)

\(M = \frac{1078.01}{9.8}\)

\(M \approx 110 \text{ kg}\)

এখন, সাইকেল আরোহীর ভর,

\(m_{আরোহী} = M - m_{সাইকেল}\)

\(m_{আরোহী} = 110 \text{ kg} - 35 \text{ kg}\)

\(m_{আরোহী} = 75 \text{ kg}\)

গাণিতিক বিশ্লেষণ করে দেখা যায় যে, সাইকেল আরোহীর ভর 75 kg। উদ্দীপকে শিক্ষার্থী যে মন্তব্যটি করেছেন, তা এই গাণিতিক বিশ্লেষণের ফলাফলের সাথে সম্পূর্ণ মিলে যায়। অর্থাৎ, শিক্ষার্থী প্রদত্ত তথ্যগুলো সঠিকভাবে ব্যবহার করে সাইকেল আরোহীর ভর নির্ণয় করতে সক্ষম হয়েছেন।

সুতরাং, উপরের গাণিতিক বিশ্লেষণ থেকে এটি স্পষ্ট যে, সাইকেল আরোহীর ভর 75 kg হওয়ার বিষয়ে শিক্ষার্থীর মন্তব্যটি সম্পূর্ণ যথার্থ।