একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য এর প্রস্থের দ্বিগুণ। আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 200 বর্গমিটার হলে এর দৈর্ঘ্য কত?

(সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন)

ধরি, বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 5 একক।

এখন, সমান্তরাল বাহুদ্বয়কে 3 একক বৃদ্ধি করলে বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য হবে = a + 3 = 5 + 3 = 8 একক যা একটি আয়তক্ষেত্র হবে।

আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল=  (দৈর্ঘ্য$\times$প্রস্থ)

= (8$\times$5) বর্গ একক

= 40 বর্গ একক।

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল 40 বর্গ একক।

ধরি, একটি দেওয়ালের দৈর্ঘ্য x মিটার এবং অপর দেওয়ালের দৈর্ঘ্য y মিটার।

দেওয়াল দুইটির ক্ষেত্রফল x² বর্গমিটার ও y² বর্গ মিটার

আয়তাকার ঘরের মেঝের ক্ষেত্রফল xy বর্গমিটার।

শর্তমতে,

$$\begin{gathered} x^2+y^2=229............ \left(i\right) \\ xy=30...............\left(ii\right) \end{gathered}$$

ইহাই নির্ণেয় সহসমীকরণ জোট।

ধরি, সংখ্যা দুইটি x ও y

শর্তমতে,

$xy - 80 ........\left(i\right)$

$5x = 6y + 2 ............\left(ii\right)$

$x=\frac{6y+2}{5}......... \left(iii\right)$

(iii) নং হতে x এর মান (i) নং এ বসাইয়া পাই,

$y=\frac{6y+2}{5}=80$

$6y^2+2y=400$

$6y^2+2y-400=0$

$3y^2+y-200=0$ [উভয়পক্ষে 2 দ্বারা ভাগ করে।]

$3y^2+25y-24y-200=0$

$y(3y + 25) - 8(3y + 25) = 0$

$(3y + 25)(y - 8) = 0$

হয়, $3y + 25 = 0$

$y=-\frac{25}{3}$

$y - 8 = 0$

$y = 8$

যেহেতু সংখ্যা দুইটি ধনাত্মক সেহেতু $y \ne -\frac{25}{3}$

$y = 8$

y এর মান (iii) নং এ বসাইয়া পাই,

$$\begin{gathered} x=\frac{6.8+2}{5} \\ =\frac{50}{5} \\ =10 \end{gathered}$$

নির্ণেয় সংখ্যা দুইটি (x, y) = (10, 8)

ধরি, আয়তাকার আম বাগানের দৈর্ঘ্য x ফুট ও প্রস্থ y ফুট।

আয়তাকার আম বাগানের ক্ষেত্রফল= xy বর্গ ফুট এবং পরিসীমা

= 2(x+y) ফুট।

শর্তমতে,

$xy= 2400.............\left(i\right)$

$2(x+y) 240.........\left(ii\right)$

ইহাই নির্ণেয় সমীকরণজোট।

দেওয়া আছে,

$7^{3y-1}={\left(\sqrt[3]{343}\right)}^{y - 1}$

বা, $7^{3y-1}={\left\{{\left(343\right)}^{\frac{1}{3}}\right\}}^{{}^{y - 1}}$

বা, $={\left\{{\left(7^3\right)}^{\frac{1}{3}}\right\}}^{{}^{y - 1}}=7^{y - 1}$

বা, 3y - 1 = y - 1

বা, 2y = 0

∴ y = 0

নির্ণেয় মান, y = 0

মনেকরি, দশক স্থানীয় অঙ্ক x এবং একক স্থানীয অঙ্ক y।

∴ সংখ্যাটি = 10x + y

প্রথম শর্তমতে, $\frac{10x + y}{x + y}=8$

বা, 10x + y = 8x + 8y

বা, 2x - 7y = 0 ............... (1)

'দ্বিতীয় শর্তমতে, 10x + y - 45 = 10y + x

বা, 9x - 9y - 45 = 0

বা, x - y - 5 = 0

বা, y = x - 5 ............... (2)

সমীকরণ (1) এ y = x - 5 বসিয়ে পাই,

2x - 7(x - 5) = 0

বা, 2x - 7x + 35 = 0

বা, - 5x + 35

বা, $x=\frac{-35}{-5}=7$

x-এর মান (2) নং সমীকরণে বসিয়ে,

y = 7.5 = 2

∴ y = 2

∴ সংখ্যাটি $= 10 \times 7 + 2 = 70 + 2 = 72$

নির্ণেয় সংখ্যাটি 72.