একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য 5 মিটার কম ও প্রস্থ 3 মিটার বেশি হলে ক্ষেত্রফল 90000 বর্গ সে. মিটার কমে যায়। আবার দৈর্ঘ্য 300 সে. মিটার ও প্রস্থ 200 সে. মিটার বেশি হলে ক্ষেত্রফল 67 বর্গ মিটার বেশি হয়।

উদ্দীপকে বর্ণিত \(\triangle PQR\) এর \(PQ\) ও \(PR\) বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে \(M\) ও \(N\)। এখানে, আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে, \(MN\) বাহু \(QR\) এর সমান্তরাল এবং \(MN\) এর দৈর্ঘ্য \(QR\) এর দৈর্ঘ্যের অর্ধেক। এটি জ্যামিতির একটি মৌলিক উপপাদ্য, যা মধ্যবিন্দু উপপাদ্য (Midpoint Theorem) নামে পরিচিত।

প্রমাণের সুবিধার্থে আমরা \(MN\) কে \(E\) পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করি যেন \(MN = NE\) হয়। এরপর \(R, E\) যোগ করি। এর ফলে আমরা দুটি ত্রিভুজ \(\triangle PMN\) এবং \(\triangle REN\) পাই। উদ্দীপকের শর্তানুযায়ী, \(M\) ও \(N\) যথাক্রমে \(PQ\) ও \(PR\) এর মধ্যবিন্দু। এই উপাত্তগুলো ব্যবহার করে আমরা উপপাদ্যটি প্রমাণ করব।

এখন, \(\triangle PMN\) এবং \(\triangle REN\) এর মধ্যে নিম্নলিখিত সম্পর্কগুলি বিদ্যমান:

    
• \(PN = NR\) (কারণ \(N\), \(PR\) বাহুর মধ্যবিন্দু)
    
• \(\angle PNM = \angle RNE\) (বিপ্রতীপ কোণ হওয়ায়)
    
• \(MN = NE\) (অঙ্কন অনুসারে)

সুতরাং, \(SAS\) (বাহু-কোণ-বাহু) উপপাদ্য অনুসারে, \(\triangle PMN \cong \triangle REN\) (সর্বসম)।

সর্বসমতার ধর্ম অনুযায়ী, \(PM = RE\) এবং \(\angle PMN = \angle REN\)। যেহেতু \(M\), \(PQ\) এর মধ্যবিন্দু, তাই \(PM = MQ\)। সুতরাং, আমরা পাই \(MQ = RE\)।

আবার, \(\angle PMN\) এবং \(\angle REN\) একান্তর কোণ এবং এরা সমান। দুটি সরলরেখা একটি ছেদক দ্বারা ছেদিত হলে যদি একান্তর কোণদ্বয় সমান হয়, তবে রেখা দুটি সমান্তরাল হয়। অতএব, \(PQ || RE\), অর্থাৎ \(MQ || RE\)।

যেহেতু চতুর্ভুজ \(MQRE\) এর একজোড়া বিপরীত বাহু \(MQ\) ও \(RE\) পরস্পর সমান এবং সমান্তরাল, সুতরাং \(MQRE\) একটি সামান্তরিক।

সামান্তরিকের বিপরীত বাহুগুলো সমান্তরাল ও সমান হয়। তাই, \(ME || QR\) (যার অর্থ \(MN || QR\)) এবং \(ME = QR\)।

অঙ্কন অনুসারে, \(ME = MN + NE = MN + MN = 2MN\)।

অতএব, \(2MN = QR\), যা থেকে আমরা পাই \(MN = \frac{1}{2}QR\)।

সুতরাং, উদ্দীপকে প্রদত্ত \(\triangle PQR\) এর \(PQ\) ও \(PR\) বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু \(M\) ও \(N\) হলে, আমরা সফলভাবে প্রমাণ করতে পারলাম যে, \(MN\) বাহু \(QR\) এর সমান্তরাল এবং \(MN\) এর দৈর্ঘ্য \(QR\) এর দৈর্ঘ্যের অর্ধেক।

ধরি, 1টি কলার মূল্য x টাকা

1 টি রুটির মূল্য y টাকা

তাহলে, 3x + 4y = 60 ______ (i)

2x + 6y = 80 ______ (ii)

(i) ও (ii) নং নির্ণেয় সমীকরণ।

ধরি, শ্রেণিকক্ষের মেঝের দৈর্ঘ্য x মিটার

এবং শ্রেণিকক্ষের মেঝের প্রস্থ y মিটার

$\therefore$ শ্রেণিকক্ষের মেঝের ক্ষেত্রফল xy বর্গমিটার

১ম শতৃমতে, (x+4) (y+2) = x + 96

বা, xy + 2x + 4y +8 = xy +96

বা, xy + 2x + 4y - xy = 96 - 8

বা 2x + 4y = 88 ________ (i)

২য় শর্তমতে, (x - 4)(y + 2) = xy - 16

বা, xy + 2x - 4y - 8 = xy - 16

বা, xy + 2x - 4y - xy = - 16 + 8

বা, 2x - 4y = - 8 _______ (ii)

(i) ও (ii) নং হতে পাই,

2x + 4y - 88 = 0

2x - 4y + 8 = 0 যা তথ্যের আলোকে গঠিত সমীকরণদ্বয়।