একটি ইলেকট্রন ও একটি প্রোটন আলাদাভাবে 0.98C বেগে গতিশীল।

[ইলেকট্রন ও প্রোটনের ভর যথাক্রমে  $9.1 \times {10}^{-31} kg ও 1.67 \times {10}^{-27} kg]$

উত্তরঃ

স্থির পর্যবেক্ষকের সাপেক্ষে গতিশীল কাঠামোতে সময়ের পরিমাপ ভিন্ন হয় এবং তা দীর্ঘ বলে মনে হয়, এই ঘটনাকে কাল দীর্ঘায়ন (Time Dilation) বলে। অর্থাৎ, পর্যবেক্ষকের সাপেক্ষে গতিশীল কোনো বস্তু বা ঘটনার জন্য সময় ধীরে অতিবাহিত হওয়ার ঘটনাকে কাল দীর্ঘায়ন বলা হয়।

উত্তরঃ

আইনস্টাইনের আপেক্ষিকতার বিশেষ তত্ত্ব অনুসারে, কোনো ভরসম্পন্ন বস্তু আলোর বেগে চলতে পারে না। কারণ, যখন কোনো বস্তুর বেগ আলোর বেগের কাছাকাছি পৌঁছায়, তখন এর ভর ব্যাপকভাবে বৃদ্ধি পেতে থাকে এবং দৈর্ঘ্য সংকুচিত হয়।

কোনো বস্তুকে আলোর বেগে পৌঁছাতে হলে অসীম পরিমাণ শক্তির প্রয়োজন হবে, যা বাস্তবে অসম্ভব। এই কারণে কেবলমাত্র ভরহীন কণা, যেমন ফোটন, শূন্যস্থানে আলোর বেগে চলতে পারে। যেকোনো ভরসম্পন্ন বস্তু কেবল আলোর বেগের কাছাকাছি পৌঁছাতে পারে, কিন্তু কখনোই আলোর বেগে চলতে পারে না।

উত্তরঃ

উদ্দীপকে উল্লিখিত ইলেকট্রনটি আলোর বেগের তুলনীয় বেগে গতিশীল। যখন কোনো কণা আলোর বেগের কাছাকাছি বেগে চলে, তখন তার শক্তি আপেক্ষিকতা তত্ত্ব (Special Theory of Relativity) অনুযায়ী নির্ধারিত হয়। আইনস্টাইনের আপেক্ষিকতার বিশেষ তত্ত্ব অনুসারে, একটি গতিশীল কণার মোট শক্তি (Total Energy) তার স্থির ভর শক্তি (Rest Mass Energy) এবং গতিশক্তির সমষ্টি। এটি লোরেনৎস ফ্যাক্টর (\(\gamma\)) ব্যবহার করে \(E = \gamma m_0 c^2\) সূত্র দ্বারা নির্ণয় করা হয়, যেখানে \(m_0\) হলো কণার স্থির ভর, \(c\) হলো আলোর বেগ এবং \(\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\) হলো লোরেনৎস ফ্যাক্টর, যা কণার বেগ \(v\) এবং আলোর বেগ \(c\) এর অনুপাতের উপর নির্ভরশীল।

উদ্দীপক থেকে প্রাপ্ত তথ্য অনুযায়ী, ইলেকট্রনের বেগ, \(v = 0.98C\) এবং এর স্থির ভর, \(m_0 = 9.1 \times 10^{-31} \text{ kg}\)। আলোর বেগ, \(c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}\)।

প্রথমে লোরেনৎস ফ্যাক্টর (\(\gamma\)) নির্ণয় করি:

\(\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - (0.98)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0.9604}} = \frac{1}{\sqrt{0.0396}} \approx \frac{1}{0.198997} \approx 5.0257\)

এবার ইলেকট্রনের মোট শক্তি নির্ণয় করি:

\(E = \gamma m_0 c^2\)

\(E = 5.0257 \times (9.1 \times 10^{-31} \text{ kg}) \times (3 \times 10^8 \text{ m/s})^2\)

\(E = 5.0257 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 9 \times 10^{16} \text{ J}\)

\(E \approx 411.604 \times 10^{-15} \text{ J}\)

\(E \approx 4.116 \times 10^{-13} \text{ J}\)

সুতরাং, উদ্দীপকের ইলেকট্রনের মোট শক্তি হলো প্রায় \(4.116 \times 10^{-13} \text{ জুল}\)।

উত্তরঃ

সাধারণত, কোনো বস্তুর গতিশক্তি তার ভর ও বেগের ওপর নির্ভরশীল। কিন্তু যখন কোনো কণার বেগ আলোর বেগের কাছাকাছি হয় (যেমন, 0.98C), তখন সাধারণ গতিশক্তির সূত্র \(K = \frac{1}{2}mv^2\) ব্যবহার করা যায় না। এক্ষেত্রে আপেক্ষিকতার তত্ত্ব (Theory of Relativity) অনুযায়ী কণার আপেক্ষিক গতিশক্তি (Relativistic Kinetic Energy) নির্ণয় করতে হয়। আপেক্ষিক গতিশক্তির সূত্র হলো \(K = (\gamma - 1)mc^2\), যেখানে \(m\) হলো বস্তুর স্থির ভর (rest mass), \(c\) হলো আলোর বেগ এবং \(\gamma\) হলো লরেন্টজ গুণক (Lorentz factor), যার মান \(\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\)।

উদ্দীপকে একটি ইলেকট্রন ও একটি প্রোটন উভয়েই \(0.98C\) বেগে গতিশীল। এখানে, কণাগুলোর বেগ আলোর বেগের (c) অত্যন্ত কাছাকাছি, তাই আপেক্ষিক গতিশক্তির সূত্র ব্যবহার করতে হবে।

দেওয়া আছে,

    
• ইলেকট্রনের স্থির ভর, \(m_e = 9.1 \times 10^{-31} \text{ kg}\)
    
• প্রোটনের স্থির ভর, \(m_p = 1.67 \times 10^{-27} \text{ kg}\)
    
• উভয় কণার বেগ, \(v = 0.98c\)
    
• আলোর বেগ, \(c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}\)

প্রথমে, লরেন্টজ গুণক \(\gamma\) নির্ণয় করি:

\[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \left(\frac{0.98c}{c}\right)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - (0.98)^2}} \] \[ = \frac{1}{\sqrt{1 - 0.9604}} = \frac{1}{\sqrt{0.0396}} = \frac{1}{0.198997} \approx 5.0256 \]

এবার ইলেকট্রনের গতিশক্তি (\(K_e\)) নির্ণয় করি:

\[ K_e = (\gamma - 1)m_e c^2 = (5.0256 - 1) \times (9.1 \times 10^{-31} \text{ kg}) \times (3 \times 10^8 \text{ m/s})^2 \] \[ = 4.0256 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 9 \times 10^{16} \] \[ = 4.0256 \times 81.9 \times 10^{-15} \approx 329.70 \times 10^{-15} \text{ J} \approx 3.297 \times 10^{-13} \text{ J} \]

এখন প্রোটনের গতিশক্তি (\(K_p\)) নির্ণয় করি:

\[ K_p = (\gamma - 1)m_p c^2 = (5.0256 - 1) \times (1.67 \times 10^{-27} \text{ kg}) \times (3 \times 10^8 \text{ m/s})^2 \] \[ = 4.0256 \times 1.67 \times 10^{-27} \times 9 \times 10^{16} \] \[ = 4.0256 \times 15.03 \times 10^{-11} \approx 60.50 \times 10^{-11} \text{ J} \approx 6.050 \times 10^{-10} \text{ J} \]

এবার প্রোটনের গতিশক্তি ইলেকট্রনের গতিশক্তির দ্বিগুণ কিনা তা যাচাই করি:

\[ 2 \times K_e = 2 \times 3.297 \times 10^{-13} \text{ J} = 6.594 \times 10^{-13} \text{ J} \]

যেহেতু \(K_p \approx 6.050 \times 10^{-10} \text{ J}\) এবং \(2K_e \approx 6.594 \times 10^{-13} \text{ J}\), অতএব দেখা যাচ্ছে যে প্রোটনের গতিশক্তি ইলেকট্রনের গতিশক্তির দ্বিগুণ নয়। বরং প্রোটনের গতিশক্তি ইলেকট্রনের গতিশক্তির চেয়ে অনেক গুণ বেশি (প্রায় 1835 গুণ বেশি, কারণ \(K_p/K_e = m_p/m_e\))।