একটি পানিপূর্ণ কুয়ার গভীরতা 10m এবং ব্যাস 1.5m। একটি পাম্প 25 মিনিটে কুয়াটিকে পানিশূন্য করতে পারে কিন্তু এক-তৃতীয়াংশ পানি উত্তোলন করার পর পাম্পটি নষ্ট হয়ে যায়। পরবর্তীতে 0.82h.p কার্যকর ক্ষমতার ২য় একটি পাম্প দ্বারা বাকি পানি উত্তোলন করা হয়। [পানির ঘনত্ব $p = {10}^{3}kgm{-}^3$ এবং অভিকর্ষীয় ত্বরণ $g = 9.8ms{-}^2]$

উত্তরঃ কাজ হলো বল ভেক্টর (\(\vec{F}\)) এবং সরণ ভেক্টর (\(d\vec{r}\)) এর ডট গুণফলের সমাকলিত রূপ, অর্থাৎ \(W = \int \vec{F} \cdot d\vec{r}\), যা একটি বস্তুকে এক বিন্দু থেকে অন্য বিন্দুতে স্থানান্তরিত করতে ব্যয়িত শক্তিকে নির্দেশ করে।

উত্তরঃ

কোনো যন্ত্রের কর্মদক্ষতা 100% হওয়া সম্ভব নয়। এটি কেবল একটি তাত্ত্বিক ধারণা এবং বাস্তবে এমন যন্ত্র তৈরি করা অসম্ভব।

বাস্তবে, একটি যন্ত্র কাজ করার সময় ঘর্ষণ, বায়ু প্রতিরোধ, এবং যন্ত্রাংশের অভ্যন্তরীণ প্রতিরোধের কারণে সবসময় কিছু পরিমাণ শক্তি তাপ, শব্দ বা অন্যান্য অপ্রয়োজনীয় রূপে নষ্ট হয়ে যায়। ফলে যন্ত্রে যে মোট শক্তি প্রদান করা হয় (ইনপুট শক্তি), তার সবটুকু কার্যকর শক্তিতে (আউটপুট শক্তি) রূপান্তরিত হতে পারে না। যেহেতু কর্মদক্ষতা হলো কার্যকর শক্তি ও মোট প্রদত্ত শক্তির অনুপাত, তাই ইনপুট শক্তি সর্বদা আউটপুট শক্তির চেয়ে বেশি হওয়ায় কর্মদক্ষতা কখনই 100% হয় না, বরং সর্বদা 100% এর কম হয়।

উত্তরঃ

একটি কুয়াকে পানিশূন্য করতে পাম্প কর্তৃক সম্পাদিত কাজ নির্ণয়ের সূত্র হলো \(W = \rho g A \frac{H^2}{2}\) এবং কার্যকর ক্ষমতার সূত্র হলো \(P = \frac{W}{t}\)। এখানে, কুয়ার গভীরতা \(H = 10\) m, ব্যাস \(D = 1.5\) m, সুতরাং ব্যাসার্ধ \(r = \frac{1.5}{2} = 0.75\) m। পানির ঘনত্ব \(\rho = 10^3 kgm^{-3}\) এবং অভিকর্ষীয় ত্বরণ \(g = 9.8 ms^{-2}\)। প্রথম পাম্পটি কুয়াটিকে সম্পূর্ণ পানিশূন্য করতে পারে 25 মিনিটে, অর্থাৎ \(t = 25 \times 60 = 1500\) সেকেন্ডে।

প্রথমে, কুয়াটিকে সম্পূর্ণ পানিশূন্য করতে মোট কত কাজ সম্পাদিত হবে তা নির্ণয় করতে হবে। কুয়ার অনুপ্রস্থচ্ছেদ ক্ষেত্রফল \(A = \pi r^2 = \pi (0.75)^2 = 0.5625\pi\) m\(^2\)। সুতরাং, মোট সম্পাদিত কাজ, \[W = \rho g A \frac{H^2}{2}\] \[W = 10^3 \times 9.8 \times (0.5625\pi) \times \frac{(10)^2}{2}\] \[W = 1000 \times 9.8 \times 0.5625\pi \times 50\] \[W \approx 865967.83 \text{ J}\]

১ম পাম্পটির কার্যকর ক্ষমতা, \[P = \frac{W}{t}\] \[P = \frac{865967.83 \text{ J}}{1500 \text{ s}}\] \[P \approx 577.31 \text{ W}\] আমরা জানি, \(1\) অশ্বক্ষমতা \(= 746\) ওয়াট। সুতরাং, \(P_{অশ্বক্ষমতা} = \frac{577.31}{746} \approx 0.7739\) অশ্বক্ষমতা। অতএব, প্রথম পাম্পটির কার্যকর ক্ষমতা প্রায় \(0.774\) অশ্বক্ষমতা।

উত্তরঃ

উদ্দীপকে বর্ণিত কুয়াটির প্রথম এক-তৃতীয়াংশ এবং তৃতীয় এক-তৃতীয়াংশ পানি উত্তোলন করতে যথাক্রমে প্রথম ও দ্বিতীয় পাম্পের প্রয়োজনীয় সময় সমান হবে নাকি ভিন্ন হবে তা গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ করে যাচাই করতে হবে। এক্ষেত্রে, পানির ঘনত্ব, অভিকর্ষীয় ত্বরণ, কুয়ার গভীরতা ও ব্যাস, এবং পাম্পগুলোর কার্যক্ষমতা ব্যবহার করে প্রয়োজনীয় কাজ ও সময় নির্ণয় করতে হবে।

প্রথমে, প্রথম পাম্পের ক্ষমতা নির্ণয় করা যাক। কুয়ার গভীরতা \(h = 10\) m এবং ব্যাস \(d = 1.5\) m হওয়ায় এর ব্যাসার্ধ \(r = 0.75\) m। সুতরাং, কুয়ার প্রস্থচ্ছেদ ক্ষেত্রফল, \(A = \pi r^2 = \pi (0.75)^2 \approx 1.7671\) m²। সম্পূর্ণ কুয়া খালি করতে প্রয়োজনীয় মোট কাজ, \(W_{total} = \frac{1}{2} \rho A g h^2\) যেখানে \(\rho = 10^3\) kg/m³ (পানির ঘনত্ব) এবং \(g = 9.8\) m/s² (অভিকর্ষীয় ত্বরণ)। মান বসিয়ে পাই, \(W_{total} = \frac{1}{2} \times 10^3 \times 1.7671 \times 9.8 \times (10)^2 \approx 865800\) J। যেহেতু প্রথম পাম্পটি 25 মিনিটে (অর্থাৎ, \(25 \times 60 = 1500\) s) সম্পূর্ণ কুয়া খালি করতে পারে, তাই এর ক্ষমতা, \(P_1 = \frac{W_{total}}{t_{total}} = \frac{865800 \text{ J}}{1500 \text{ s}} \approx 577.2\) W। এখন, কুয়ার উপরের এক-তৃতীয়াংশ পানি (অর্থাৎ, গভীরতা 0 থেকে \(h/3 = 10/3\) m পর্যন্ত) উত্তোলন করতে প্রয়োজনীয় কাজ, \(W_{1st\_1/3} = \int_{0}^{h/3} \rho A g x dx = \frac{1}{2} \rho A g (h/3)^2 = \frac{1}{18} \rho A g h^2 = \frac{1}{9} W_{total} = \frac{865800}{9} \approx 96200\) J। এই কাজ করতে প্রথম পাম্পের প্রয়োজনীয় সময়, \(t_{1st\_1/3} = \frac{W_{1st\_1/3}}{P_1} = \frac{96200 \text{ J}}{577.2 \text{ W}} \approx 166.67\) s।

এরপর, দ্বিতীয় পাম্প দ্বারা কুয়ার তৃতীয় এক-তৃতীয়াংশ পানি উত্তোলনের সময় নির্ণয় করা যাক। উদ্দীপক অনুযায়ী, দ্বিতীয় পাম্পের কার্যকর ক্ষমতা, \(P_2 = 0.82\) h.p. \( = 0.82 \times 746 \text{ W} \approx 611.72\) W। কুয়ার নিচের এক-তৃতীয়াংশ পানি (অর্থাৎ, গভীরতা \(2h/3 = 20/3\) m থেকে \(h = 10\) m পর্যন্ত) উত্তোলন করতে প্রয়োজনীয় কাজ, \(W_{3rd\_1/3} = \int_{2h/3}^{h} \rho A g x dx = \frac{1}{2} \rho A g (h^2 - (2h/3)^2) = \frac{1}{2} \rho A g (h^2 - \frac{4h^2}{9}) = \frac{1}{2} \rho A g \frac{5h^2}{9} = \frac{5}{18} \rho A g h^2 = 5 \times W_{1st\_1/3} = 5 \times 96200 = 481000\) J। এই কাজ করতে দ্বিতীয় পাম্পের প্রয়োজনীয় সময়, \(t_{3rd\_1/3} = \frac{W_{3rd\_1/3}}{P_2} = \frac{481000 \text{ J}}{611.72 \text{ W}} \approx 786.27\) s।

উপরের গাণিতিক বিশ্লেষণ থেকে দেখা যাচ্ছে যে, কুয়ার প্রথম এক-তৃতীয়াংশ পানি উত্তোলন করতে প্রথম পাম্পের \(166.67\) সেকেন্ড এবং তৃতীয় এক-তৃতীয়াংশ পানি উত্তোলন করতে দ্বিতীয় পাম্পের \(786.27\) সেকেন্ড সময় লাগে। যেহেতু \(166.67\) s \(\neq 786.27\) s, তাই প্রয়োজনীয় সময় এক হবে না, বরং ভিন্ন হবে। এর মূল কারণ হলো, কুয়ার উপরের এক-তৃতীয়াংশ পানি উত্তোলন করতে পাম্পকে কম গভীরতা থেকে পানি তুলতে হয়, ফলে কম কাজ সম্পন্ন হয়। অন্যদিকে, নিচের এক-তৃতীয়াংশ পানি উত্তোলন করতে পাম্পকে অধিক গভীরতা থেকে পানি তুলতে হয়, ফলে বেশি কাজ সম্পন্ন হয়। যদিও দ্বিতীয় পাম্পের ক্ষমতা প্রথম পাম্পের ক্ষমতা থেকে সামান্য বেশি, তবুও কাজ বেশি হওয়ায় সময়ও বেশি লাগে।