একটি বস্তু সরল দোল গতিতে x = 6.0 cos(6rt + r) m সমীকরণ অনুযায়ী দুলছে। বস্তুর গতির কম্পাঙ্ক কত? t = 2s সময়ে বস্তুটির বেগ ও ত্বরণের মান কত? (A body oscillating with simple harmonic motion according to the equation x = 6.0 cos(6rt + r) m. What is the frequency of oscillation? Find out the magnitude of velocity and acceleration at the time t = 2s.)

প্রদত্ত সরল দোল গতির সমীকরণটি হলো:

\(x = 6.0 \cos(6\pi t + \pi)\) m

আমরা জানি, সরল দোল গতির সাধারণ সমীকরণ হলো \(x = A \cos(\omega t + \phi)\), যেখানে \(A\) হলো বিস্তার (amplitude), \(\omega\) হলো কৌণিক কম্পাঙ্ক (angular frequency) এবং \(\phi\) হলো দশা ধ্রুবক (phase constant)।

প্রদত্ত সমীকরণকে সাধারণ সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই:

বিস্তার, \(A = 6.0\) m

কৌণিক কম্পাঙ্ক, \(\omega = 6\pi\) rad/s

দশা ধ্রুবক, \(\phi = \pi\) rad

১. কম্পাঙ্ক (Frequency) নির্ণয়:

আমরা জানি, \(\omega = 2\pi f\), যেখানে \(f\) হলো কম্পাঙ্ক।

\(f = \frac{\omega}{2\pi}\)

\(f = \frac{6\pi}{2\pi}\)

\(f = 3\) Hz

২. \(t = 2\)s সময়ে বেগ (Velocity) নির্ণয়:

বেগ, \(v = \frac{dx}{dt}\)

\(v = \frac{d}{dt} [6.0 \cos(6\pi t + \pi)]\)

\(v = 6.0 \cdot [-\sin(6\pi t + \pi) \cdot (6\pi)]\)

\(v = -36\pi \sin(6\pi t + \pi)\) m/s

এখন, \(t = 2\)s বসিয়ে পাই:

\(v = -36\pi \sin(6\pi (2) + \pi)\)

\(v = -36\pi \sin(12\pi + \pi)\)

\(v = -36\pi \sin(\pi)\)  (যেহেতু \(\sin(n\pi + \theta) = \sin(\theta)\) যখন \(n\) জোড় সংখ্যা)

\(v = -36\pi \cdot 0\)

\(v = 0\) m/s

অতএব, \(t = 2\)s সময়ে বস্তুর বেগের মান \(0\) m/s।

৩. \(t = 2\)s সময়ে ত্বরণ (Acceleration) নির্ণয়:

ত্বরণ, \(a = \frac{dv}{dt}\)

\(a = \frac{d}{dt} [-36\pi \sin(6\pi t + \pi)]\)

\(a = -36\pi \cdot [\cos(6\pi t + \pi) \cdot (6\pi)]\)

\(a = -216\pi^2 \cos(6\pi t + \pi)\) m/s\(^2\)

এখন, \(t = 2\)s বসিয়ে পাই:

\(a = -216\pi^2 \cos(6\pi (2) + \pi)\)

\(a = -216\pi^2 \cos(12\pi + \pi)\)

\(a = -216\pi^2 \cos(\pi)\) (যেহেতু \(\cos(n\pi + \theta) = \cos(\theta)\) যখন \(n\) জোড় সংখ্যা)

\(a = -216\pi^2 \cdot (-1)\)

\(a = 216\pi^2\) m/s\(^2\)

অতএব, \(t = 2\)s সময়ে বস্তুর ত্বরণের মান \(216\pi^2\) m/s\(^2\)।