একটি বায়ু বুদবুদ হ্রদের তলদেশ হতে পানির উপরিপৃষ্ঠে আসলে এর আয়তন দ্বিগুণ হয়। বায়ুর চাপ 1.01 X 10⁵ Pa ।

উত্তরঃ

প্রত্যয়নী বল একটি বল যা কোনো বস্তুর ওপর ক্রিয়া করে তাকে সাম্যাবস্থায় নিয়ে আসতে চায়। প্রত্যয়নী বল কেবলমাত্র উক্ত ভর বা বস্তুকণার অবস্থানের ওপর নির্ভরশীল, এবং এটি সর্বদা সাম্যাবস্থানের অভিমুখে ক্রিয়া করে। সরল স্পন্দন গতি বর্ণনা করতে প্রত্যয়নী বলের ধারণা ব্যবহৃত হয়।

উত্তরঃ

ঘূর্ণনক্ষম কোনো বস্তুর জড়তার ভ্রামক বেশি হলে বস্তুটির কৌণিক ভরবেগ এবং ঘূর্ণন গতিশক্তি বেশি হয়। এর ফলে ঘূর্ণনক্ষম বস্তুকে থামাতে বা ত্বরণ/মন্দন ঘটাতে বেশি পরিমাণ বলের প্রয়োজন হয়। অর্থাৎ, জড়তার ভ্রামক বেশি হলে বস্তুর ঘূর্ণন অবস্থা পরিবর্তন করা কঠিন হয়ে যায়, কারণ এতে কৌণিক ভরবেগ বজায় রাখতে বেশি শক্তি প্রয়োজন হয়।

উত্তরঃ

বায়ু বুদবুদের আয়তন ও চাপের সম্পর্ক বয়েলের সূত্র দ্বারা এবং তরলের গভীরতার কারণে চাপ বৃদ্ধি স্থির তরলে চাপের সূত্র দ্বারা ব্যাখ্যা করা যায়। বয়েলের সূত্রানুসারে, নির্দিষ্ট তাপমাত্রায় কোনো গ্যাসের আয়তন এর উপর প্রযুক্ত চাপের ব্যস্তানুপাতিক। অপরদিকে, তরলের মধ্যে কোনো বিন্দুতে চাপ \(P = P_0 + \rho gh\), যেখানে \(P_0\) হলো পৃষ্ঠের চাপ, \(\rho\) হলো তরলের ঘনত্ব, \(g\) হলো অভিকর্ষজ ত্বরণ এবং \(h\) হলো গভীরতা।

উদ্দীপকে উল্লিখিত হয়েছে যে, একটি বায়ু বুদবুদ হ্রদের তলদেশ হতে পানির উপরিপৃষ্ঠে আসলে এর আয়তন দ্বিগুণ হয়। যদি তলদেশে বুদবুদের আয়তন \(V_1\) এবং চাপ \(P_1\) হয় এবং উপরিপৃষ্ঠে আয়তন \(V_2\) এবং চাপ \(P_2\) হয়, তবে প্রশ্নানুসারে \(V_2 = 2V_1\)। উপরিপৃষ্ঠে চাপ হলো বায়ুমণ্ডলীয় চাপ, যা \(P_2 = 1.01 \times 10^5 \text{ Pa}\)। বয়েলের সূত্র অনুযায়ী, \(P_1V_1 = P_2V_2\)। এই সম্পর্ক থেকে তলদেশের চাপ নির্ণয় করা যাবে।

বয়েলের সূত্র থেকে পাই:

\[P_1V_1 = P_2(2V_1)\] \[P_1 = 2P_2\] \[P_1 = 2 \times (1.01 \times 10^5 \text{ Pa}) = 2.02 \times 10^5 \text{ Pa}\]

হ্রদের গভীরতা \(h\) হলে, তলদেশে চাপ \(P_1 = P_2 + \rho gh\), যেখানে পানির ঘনত্ব \(\rho = 1000 \text{ kg/m}^3\) এবং অভিকর্ষজ ত্বরণ \(g = 9.8 \text{ m/s}^2\) ধরা হলো।

\[\rho gh = P_1 - P_2\] \[\rho gh = 2P_2 - P_2\] \[\rho gh = P_2\] \[h = \frac{P_2}{\rho g}\] \[h = \frac{1.01 \times 10^5 \text{ Pa}}{1000 \text{ kg/m}^3 \times 9.8 \text{ m/s}^2}\] \[h = \frac{101000}{9800} \text{ m}\] \[h \approx 10.31 \text{ m}\]

সুতরাং, হ্রদের গভীরতা প্রায় \(10.31 \text{ m}\)।

উত্তরঃ

একটি বায়ু বুদবুদের আয়তন হ্রদের তলদেশ থেকে পৃষ্ঠে আসার সময় পরিবর্তিত হয় কারণ এর উপর প্রযুক্ত চাপ ভিন্ন হয়। এই পরিবর্তন বয়েলের সূত্র এবং স্থিরতড়িৎ চাপ (hydrostatic pressure) দ্বারা নিয়ন্ত্রিত হয়। তলদেশের গভীরতায় চাপ বায়ুমণ্ডলীয় চাপ এবং পানির স্তরের কারণে সৃষ্ট চাপের সমষ্টি, যেখানে পৃষ্ঠে শুধুমাত্র বায়ুমণ্ডলীয় চাপ কাজ করে। তাপমাত্রা অপরিবর্তিত থাকলে, চাপ কমার সাথে সাথে গ্যাসের আয়তন বৃদ্ধি পায়।

উদ্দীপকে উল্লেখ করা হয়েছে যে একটি বায়ু বুদবুদ হ্রদের তলদেশ থেকে উপরিপৃষ্ঠে আসলে এর আয়তন দ্বিগুণ হয়, যখন বায়ুর চাপ 1.01 X 10⁵ Pa। কিন্তু 'ঘ' নং প্রশ্নে হ্রদের গভীরতা 55 mm এবং বুদবুদের ব্যাসার্ধ 2 cm এর জন্য আয়তনের পরিবর্তন গাণিতিকভাবে ব্যাখ্যা করতে বলা হয়েছে। এই সুনির্দিষ্ট শর্তাবলীতে আয়তনের পরিবর্তন উদ্দীপকের সাধারণ বিবৃতির সাথে মিলে নাও যেতে পারে।

দেওয়া আছে:

    
• বায়ুমণ্ডলীয় চাপ, \(P_{atm} = 1.01 \times 10^5 \text{ Pa}\)
    
• হ্রদের গভীরতা, \(h = 55 \text{ mm} = 0.055 \text{ m}\)
    
• পানির ঘনত্ব, \(\rho = 1000 \text{ kg/m}^3\)
    
• অভিকর্ষজ ত্বরণ, \(g = 9.8 \text{ m/s}^2\)

হ্রদের পৃষ্ঠে বুদবুদের উপর চাপ, \(P_2 = P_{atm} = 1.01 \times 10^5 \text{ Pa}\)

হ্রদের তলদেশে বুদবুদের উপর চাপ, \(P_1 = P_{atm} + \rho gh\)

\[P_1 = 1.01 \times 10^5 + (1000 \times 9.8 \times 0.055)\]

\[P_1 = 101000 + 539\]

\[P_1 = 101539 \text{ Pa}\]

বয়েলের সূত্রানুসারে (তাপমাত্রা স্থির থাকলে),

\[P_1 V_1 = P_2 V_2\]

যেখানে \(V_1\) ও \(V_2\) যথাক্রমে তলদেশ ও পৃষ্ঠে বুদবুদের আয়তন।

\[\frac{V_2}{V_1} = \frac{P_1}{P_2}\]

\[\frac{V_2}{V_1} = \frac{101539}{1.01 \times 10^5}\]

\[\frac{V_2}{V_1} = \frac{101539}{101000}\]

\[\frac{V_2}{V_1} \approx 1.0053366\]

গাণিতিক বিশ্লেষণ থেকে দেখা যায় যে, যদি হ্রদের গভীরতা 55 mm হয়, তবে বায়ু বুদবুদটি হ্রদের তলদেশ থেকে পৃষ্ঠে আসলে এর আয়তন প্রায় 1.0053 গুণ বৃদ্ধি পাবে। অর্থাৎ, আয়তন প্রায় 0.53% বৃদ্ধি পাবে। এটি উদ্দীপকের সাধারণ বিবৃতি "আয়তন দ্বিগুণ হয়" (অর্থাৎ, 2 গুণ বৃদ্ধি) এর সাথে সঙ্গতিপূর্ণ নয়। এর কারণ হলো 55 mm গভীরতা অত্যন্ত কম, যার ফলে বায়ুমণ্ডলীয় চাপের তুলনায় পানির কলাম দ্বারা সৃষ্ট চাপ (ρgh) খুবই সামান্য। ফলস্বরূপ, চাপ পরিবর্তন খুব কম হওয়ায় আয়তনের পরিবর্তনও খুব নগণ্য হয়, যা দ্বিগুণ হওয়ার কাছাকাছিও নয়। বুদবুদের ব্যাসার্ধ এখানে আয়তনের চূড়ান্ত মান নির্ধারণে ভূমিকা রাখলেও, আয়তনের পরিবর্তনের অনুপাত চাপের অনুপাতের ওপরই নির্ভরশীল।