একটি বৃত্তে AB ও CD দুইটি সমান জ্যা এবং কেন্দ্র হতে AB এর দৈর্ঘ্য 5 সে.মি.। কেন্দ্র হতে CD এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

(১) এখানে, OP ⊥ АВ এবং OQ ⊥ CD

সুতরাং AP = BP

এবং CQ = DQ

∴ $AP=\frac{1}{2}AB ও CQ=\frac{1}{2}CD$

বা, AB = 2AP এবং CD = 2CQ

২) কিন্তু AB = CD

বা, 2AP = 2CQ

∴ AP = CQ

(৩) এখন ΔΟΑP এবং ΔOCQ সমকোণী ত্রিভুজদ্বয়ের মধ্যে

অতিভুজ OA = অতিভুজ OC

AP = CQ

∴ Δ ΟΑΡ ≅ ΔOCQ

∴ OP = OQ. (প্রমাণিত)

[বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন যেকোনো জ্যা-এর উপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত সমদ্বিখণ্ডিত। করে।]

[ধাপ (১) হতে

[উভয়ে একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ) [ধাপ (২) হতে] [সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ-বাহু সর্বসমতা]

△ POE ও  △QOE  সমকোণী ত্রিভুজ  দুইটির মধ্যে OP = OQ

OE = OE

△ POE ≅  QOE

∴ EP = EQ

২) এখন, OP, AB এর উপর লম্ব হওয়ায় , AP= $\frac{1}{2}AB$

এবং OQ, CD এর উপর লম্ব হওয়ায়

DQ=$\frac{1}{2}CD$

৩) যেহেতু AB = CD

বা , $\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}CD$

∴ AP = CQ

∴ EP + AP = EQ + CQ

সুতরাং AE = CE

আবার, AB = CD

বা, AB - AE = CD - CE

∴ BE = DE

অতএব, AE = CE এবং BE = DE. (প্রমাণিত)

(১) OM ⊥ PQ ও ON ⊥ RS.

সুতরাং, PM = QM

এবং RN = SN.

∴ PM= $\frac{1}{2}PQ ও RN=\frac{1}{2}RS.$

(২) কিন্তু PQ = RS

∴ PM=RN.

৩) এখন △OPM এবং △ORN
সমকোণী ত্রিভুজদ্বয়ের মধ্যে

অতিভুজ OP = অতিভুজ OR

এবং PM = RN.

∴ △OPM ≅  △ORN

∴ OM=ON

∴ O কেন্দ্র থেকে PQ ও RS জ্যাদ্বয় সমদূরবর্তী (প্রমাণিত)

উভয়ে একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ [ধাপ (২) থেকে]

[সমকোণী ত্রিভুজের অতিভূজ-বাহু সর্বসমতা উপপাদ্য।]

(১) △OAE ও ΔOBE সমকোণী ত্রিভুজ দুইটির মধ্যে

OA = OB

OE = OE

Δ ΟΑΕ ≅ ΔОВЕ

∴ AE = BE

২) এখন, OA ⊥  PQ হওয়ায়

$AP=\frac{1}{2}PQ$

এবং OB ⊥ SR হওয়ায়,

BS=$\frac{1}{2}SR$

৩) যেহেতু PQ = SR

বা,  $\frac{1}{2}PQ=\frac{1}{2}SR$

∴ AP=BS

∴ AE + AP = BE + BS

সুতরাং, PE = SE

(৪) আবার, PQ = SR

বা, PQ-PE = SR - SE

∴ QE = RE

অতএব, PE = SE এবং QE = RE. (প্রমাণিত)

সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী।
[সাধারণ বাহ্]

কেন্দ্র হতে অঙ্কিত লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।