একটি ব্যাংকে মুনাফার হার ৮% হলে উক্ত ব্যাংকে কত টাকা জমা রাখলে ২ বছর পর সরল মুনাফা ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য ১০৮ টাকা হবে?

ধরি, আয়তক্ষেত্রের প্রন্থ \(x\) মিটার।

প্রশ্নানুসারে, দৈর্ঘ্য \((2x - 6)\) মিটার।

আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য \(\times\) প্রন্থ

প্রশ্নমতে,

\(x(2x - 6) = 540\)

\(2x^2 - 6x = 540\)

\(2x^2 - 6x - 540 = 0\)

উভয়পক্ষকে \(2\) দ্বারা ভাগ করে পাই,

\(x^2 - 3x - 270 = 0\)

এখন, মধ্যপদ বিশ্লেষণ করে পাই,

\(x^2 - 18x + 15x - 270 = 0\)

\(x(x - 18) + 15(x - 18) = 0\)

\((x - 18)(x + 15) = 0\)

হয়, \(x - 18 = 0\)

\(\Rightarrow x = 18\)

অথবা, \(x + 15 = 0\)

\(\Rightarrow x = -15\)

প্রন্থ ঋণাত্মক হতে পারে না, সুতরাং \(x = 18\)

সুতরাং, আয়তক্ষেত্রের প্রন্থ = \(18\) মিটার।

এবং আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = \((2 \times 18 - 6)\) মিটার

= \((36 - 6)\) মিটার

= \(30\) মিটার।

আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = \(2 \times (\text{দৈর্ঘ্য} + \text{প্রন্থ})\)

= \(2 \times (30 + 18)\) মিটার

= \(2 \times 48\) মিটার

= \(96\) মিটার।

অতএব, আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা \(96\) মিটার।

ধরি, সংখ্যাটির দশক স্থানীয় অঙ্কটি \(x\) এবং একক স্থানীয় অঙ্কটি \(y\)।

সুতরাং, সংখ্যাটি হলো \(10x + y\)।

প্রথম শর্তানুযায়ী,

\(x + y = 11\) ... (i)

অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে নতুন সংখ্যাটি হয় \(10y + x\)।

দ্বিতীয় শর্তানুযায়ী,

\(10y + x = (10x + y) - 9\)

\(10y + x - 10x - y = -9\)

\(9y - 9x = -9\)

উভয়পক্ষকে \(9\) দ্বারা ভাগ করে পাই,

\(y - x = -1\)

বা, \(x - y = 1\) ... (ii)

এখন, সমীকরণ (i) ও (ii) যোগ করে পাই,

\((x + y) + (x - y) = 11 + 1\)

\(2x = 12\)

\(x = \frac{12}{2}\)

\(x = 6\)

\(x\) এর মান সমীকরণ (i) এ বসিয়ে পাই,

\(6 + y = 11\)

\(y = 11 - 6\)

\(y = 5\)

সুতরাং, সংখ্যাটি হলো \(10x + y = 10(6) + 5 = 60 + 5 = 65\)।

অতএব, সংখ্যাটি হলো 65।

সমস্যাটি সমাধানের জন্য আমরা ত্রিকোণমিতির ধারণা ব্যবহার করব। একটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে আমরা গাছটির দন্ডায়মান ও ভাঙা অংশের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করব।

ধরি,

• গাছটির গোড়া \(B\) বিন্দুতে অবস্থিত ছিল।
• গাছটি \(C\) বিন্দুতে ভেঙে গেছে।
• ভাঙা অংশটি \(D\) বিন্দুতে মাটি স্পর্শ করেছে।

সুতরাং, \(BC\) হলো গাছের দন্ডায়মান অংশ এবং \(CD\) হলো গাছের ভাঙা অংশ। ভাঙার আগে গাছের সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য ছিল \(BC + AC\)। যেহেতু ভাঙার পর \(AC\) অংশটি \(CD\) হিসেবে ভূমিতে আছে, তাই সম্পূর্ণ গাছের দৈর্ঘ্য হবে \(BC + CD\)।

এখানে একটি সমকোণী ত্রিভুজ \(\triangle BCD\) গঠিত হয়েছে, যেখানে \(\angle B = 90^\circ\)।

প্রশ্নানুযায়ী প্রাপ্ত তথ্য:

• গাছের গোড়া থেকে ভাঙা অংশের স্পর্শবিন্দুর দূরত্ব (ভূমি \(BD\)) = 20 মিটার।
• ভাঙা অংশ (অতিভুজ \(CD\)) দন্ডায়মান অংশ (\(BC\)) এর সাথে ৫০° কোণ উৎপন্ন করে। অর্থাৎ, \(\angle BCD = 50^\circ\)।

এখন, \(\triangle BCD\) থেকে আমরা \(BC\) এবং \(CD\) এর মান নির্ণয় করব।

দন্ডায়মান অংশ (\(BC\)) নির্ণয়:

আমরা জানি, \(\tan\theta = \frac{\text{লম্ব}}{\text{ভূমি}}\)

এখানে, \(\angle BCD = 50^\circ\), লম্ব \(BD = 20\) মিটার, এবং ভূমি \(BC\)।

\(\tan(50^\circ) = \frac{BD}{BC}\)

\(\tan(50^\circ) = \frac{20}{BC}\)

\(BC = \frac{20}{\tan(50^\circ)}\)

\(BC \approx \frac{20}{1.19175}\)

\(BC \approx 16.782\) মিটার।

ভাঙা অংশ (\(CD\)) নির্ণয়:

আমরা জানি, \(\sin\theta = \frac{\text{লম্ব}}{\text{অতিভুজ}}\)

এখানে, \(\angle BCD = 50^\circ\), লম্ব \(BD = 20\) মিটার, এবং অতিভুজ \(CD\)।

\(\sin(50^\circ) = \frac{BD}{CD}\)

\(\sin(50^\circ) = \frac{20}{CD}\)

\(CD = \frac{20}{\sin(50^\circ)}\)

\(CD \approx \frac{20}{0.76604}\)

\(CD \approx 26.108\) মিটার।

সম্পূর্ণ গাছটির দৈর্ঘ্য নির্ণয়:

সম্পূর্ণ গাছটির দৈর্ঘ্য = দন্ডায়মান অংশ (\(BC\)) + ভাঙা অংশ (\(CD\))

সম্পূর্ণ গাছটির দৈর্ঘ্য \(= 16.782 + 26.108\)

সম্পূর্ণ গাছটির দৈর্ঘ্য \(\approx 42.89\) মিটার।

ধরি, রম্বসের বড় কর্ণ = \(d_1\) সে.মি. এবং ছোট কর্ণ = \(d_2\) সে.মি.।

রম্বসের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য, \(a = 25\) সে.মি.।

প্রশ্নমতে, ছোট কর্ণের দৈর্ঘ্য বড় কর্ণের তিন-চতুর্থাংশ,

\(d_2 = \frac{3}{4}d_1\)

আমরা জানি, রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে। তাই, রম্বসের বাহুর দৈর্ঘ্য, অর্ধ-বড় কর্ণ এবং অর্ধ-ছোট কর্ণ একটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে।

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,

\(a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2\)

\(25^2 = \frac{d_1^2}{4} + \frac{d_2^2}{4}\)

\(625 = \frac{d_1^2 + d_2^2}{4}\)

\(d_1^2 + d_2^2 = 625 \times 4\)

\(d_1^2 + d_2^2 = 2500\)

\(d_1^2 + \left(\frac{3}{4}d_1\right)^2 = 2500\)

\(d_1^2 + \frac{9}{16}d_1^2 = 2500\)

\(\frac{16d_1^2 + 9d_1^2}{16} = 2500\)

\(\frac{25d_1^2}{16} = 2500\)

\(d_1^2 = \frac{2500 \times 16}{25}\)

\(d_1^2 = 100 \times 16\)

\(d_1^2 = 1600\)

\(d_1 = \sqrt{1600}\)

\(d_1 = 40\) সে.মি.

এখন, \(d_2 = \frac{3}{4}d_1 = \frac{3}{4} \times 40 = 3 \times 10 = 30\) সে.মি.

রম্বসের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র হলো,

ক্ষেত্রফল \( = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2\)

ক্ষেত্রফল \( = \frac{1}{2} \times 40 \times 30\)

ক্ষেত্রফল \( = 20 \times 30\)

ক্ষেত্রফল \( = 600\) বর্গ সে.মি.