একটি সাধারণভাবে স্থাপিত টি-বিমের দৈর্ঘ্য 7 মিটার। পাশের টি-বিমের দুরত্ব 4 মিটার কেন্দ্র হতে কেন্দ্র। নিম্নের তথ্যাদির সাহায্যে বিমটির প্রস্থচ্ছেদের আকার ও প্রধান লোহার পরিমাণ নির্ণয় করুন।

তথ্যাদি;

f_c = 90 kg/cm²,

লাইভ লোড = 450 kg/m²,

f_s = 1350 kg/cm²,

R.C.C ছাদের পুরত্ব = 12 cm,

জলছাদের পুরত্ব = 7.5 cm এবং

n = 10.

১. বিমের প্রস্থচ্ছেদের আকার নির্ধারণ (Determination of Beam Cross-Sectional Dimensions):

ধরি, বিমের কার্যকর গভীরতা (effective depth, d) = \(\frac{দৈর্ঘ্য}{১০}\) = \(\frac{৭০০}{১০}\) = ৭০ সেমি।

মোট গভীরতা (total depth, h) = d + কভার (cover) + \(\frac{রডের ব্যাস}{২}\) = ৭১ সেমি (প্রায়)। আমরা ৭০ সেমি কার্যকর গভীরতা ধরে হিসাব করবো।

এখানে, d = 65 cm (4 cm কভার এবং 25 mm রডের জন্য 1.25 cm ধরে)

ওয়েবের প্রস্থ (web width, b_w) ধরা হলো = 30 সেমি।

ছাদের পুরত্ব (slab thickness, t) = 12 সেমি।

প্রসারিত ফ্ল্যাঞ্জের কার্যকর প্রস্থ (effective flange width, b_f) নিম্নোক্ত তিনটির মধ্যে ক্ষুদ্রতমটি হবে:

    
1. বিমের দৈর্ঘ্যের এক চতুর্থাংশ + ওয়েবের প্রস্থ = \(\frac{L}{4} + b_w\) = \(\frac{700}{4} + 30\) = 175 + 30 = 205 সেমি।
    
2. 16 * ছাদের পুরত্ব + ওয়েবের প্রস্থ = \(16t + b_w\) = \(16 \times 12 + 30\) = 192 + 30 = 222 সেমি।
    
3. পাশের বিম থেকে বিমের কেন্দ্র হতে কেন্দ্রের দুরত্ব = 400 সেমি।

অতএব, কার্যকর ফ্ল্যাঞ্জের প্রস্থ (b_f) = 205 সেমি।

নির্বাচিত প্রস্থচ্ছেদের আকার (Selected Cross-Sectional Dimensions):

    
• মোট গভীরতা (h) = 70 সেমি
    
• কার্যকর গভীরতা (d) = 65 সেমি
    
• ওয়েবের প্রস্থ (b_w) = 30 সেমি
    
• কার্যকর ফ্ল্যাঞ্জের প্রস্থ (b_f) = 205 সেমি

২. লোড ও বেন্ডিং মোমেন্ট নির্ণয় (Calculation of Load and Bending Moment):

প্রদত্ত তথ্য:

    
• লাইভ লোড (LL) = 450 kg/m²
    
• R.C.C ছাদের পুরত্ব = 12 cm
    
• জলছাদের পুরত্ব = 7.5 cm

কংক্রিটের একক ওজন = 2400 kg/m³। জলছাদের একক ওজন ধরা হলো = 2000 kg/m³।

ক. মৃত লোড (Dead Load, DL):

    
• R.C.C ছাদের ওজন = \(2400 \times 0.12\) = 288 kg/m²
    
• জলছাদের ওজন = \(2000 \times 0.075\) = 150 kg/m²
    
• মোট ছাদের মৃত লোড = 288 + 150 = 438 kg/m²
    
• বিম স্টেমের (web) নিজস্ব ওজন = \(2400 \times b_w \times (h - t)\) = \(2400 \times 0.30 \times (0.70 - 0.12)\) = \(2400 \times 0.30 \times 0.58\) = 417.6 kg/m

খ. বিমের প্রতি মিটার দৈর্ঘ্যে মোট লোড (Total Load per meter length of beam, w):

    
• ছাদ থেকে আগত লোড = (ছাদের মৃত লোড + লাইভ লোড) \(\times\) পাশের বিমের দুরত্ব
    
• = (438 + 450) \(\times\) 4 = 888 \(\times\) 4 = 3552 kg/m
    
• মোট লোড (w) = ছাদ থেকে আগত লোড + বিম স্টেমের নিজস্ব ওজন
    
• = 3552 + 417.6 = 3969.6 kg/m \(\approx\) 3970 kg/m

গ. সর্বোচ্চ বেন্ডিং মোমেন্ট (Maximum Bending Moment, M):

    
• টি-বিমটি সাধারণ ভাবে স্থাপিত (simply supported) হওয়ায়, \(M = \frac{wL^2}{8}\)
    
• \(M = \frac{3970 \times 7^2}{8}\) = \(\frac{3970 \times 49}{8}\) = \(\frac{194530}{8}\) = 24316.25 kg-m
    
• \(M = 24316.25 \times 100\) = 2,431,625 kg-cm

৩. প্রধান লোহার পরিমাণ নির্ণয় (Determination of Main Reinforcement):

প্রদত্ত উপাত্ত:

    
• \(f_c\) = 90 kg/cm²
    
• \(f_s\) = 1350 kg/cm²
    
• \(n\) = 10

ক. নিউট্রাল অক্ষের ধ্রুবক (Neutral Axis Constant, k):

    
• \(k = \frac{nf_c}{nf_c + f_s}\) = \(\frac{10 \times 90}{10 \times 90 + 1350}\) = \(\frac{900}{900 + 1350}\) = \(\frac{900}{2250}\) = 0.4

খ. লিভার আর্ম ধ্রুবক (Lever Arm Constant, j):

    
• \(j = 1 - \frac{k}{3}\) = \(1 - \frac{0.4}{3}\) = \(1 - 0.1333\) = 0.8667

গ. প্রতিরোধ ধ্রুবক (Resistance Factor, R):

    
• \(R = \frac{1}{2} f_c k j\) = \(\frac{1}{2} \times 90 \times 0.4 \times 0.8667\) = 15.6006 kg/cm²

ঘ. নিউট্রাল অক্ষের অবস্থান পরীক্ষা (Check Neutral Axis Position):

    
• ভারসাম্যপূর্ণ নিউট্রাল অক্ষের গভীরতা (balanced kd) = \(k \times d\) = \(0.4 \times 65\) = 26 সেমি।
    
• যেহেতু ভারসাম্যপূর্ণ kd (26 সেমি) > ছাদের পুরত্ব t (12 সেমি), নিউট্রাল অক্ষ ফ্ল্যাঞ্জের নিচে (ওয়েবে) অবস্থিত। এটি একটি প্রকৃত টি-বিম।

ঙ. প্রয়োজনীয় লোহার ক্ষেত্রফল (Required Area of Steel, A_s):

    
• নিউট্রাল অক্ষ ওয়েবে অবস্থিত হলে, লিভার আর্মকে আনুমানিকভাবে \(d - \frac{t}{2}\) ধরা যেতে পারে।
    
• আনুমানিক লিভার আর্ম (jd_approx) = \(65 - \frac{12}{2}\) = \(65 - 6\) = 59 সেমি।
    
• \(A_s = \frac{M}{f_s \times jd_{approx}}\) = \(\frac{2,431,625}{1350 \times 59}\) = \(\frac{2,431,625}{79650}\) = 30.53 cm²

চ. নিউট্রাল অক্ষের প্রকৃত অবস্থান যাচাই (Verify Actual Neutral Axis Position):

কম্প্রেশন ও টেনশন অংশের মোমেন্ট নিউট্রাল অক্ষের সাপেক্ষে সমান করে:

\(b_f t (kd - \frac{t}{2}) + \frac{b_w (kd - t)^2}{2} = n A_s (d - kd)\)

\(205 \times 12 (kd - \frac{12}{2}) + \frac{30 (kd - 12)^2}{2} = 10 \times 30.53 (65 - kd)\)

\(2460 (kd - 6) + 15 (kd^2 - 24kd + 144) = 305.3 (65 - kd)\)

\(2460kd - 14760 + 15kd^2 - 360kd + 2160 = 19844.5 - 305.3kd\)

\(15kd^2 + (2460 - 360 + 305.3)kd + (-14760 + 2160 - 19844.5) = 0\)

\(15kd^2 + 2405.3kd - 32444.5 = 0\)

এই দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করে:

\(kd = \frac{-2405.3 + \sqrt{2405.3^2 - 4 \times 15 \times (-32444.5)}}{2 \times 15}\)

\(kd = \frac{-2405.3 + \sqrt{5785461.09 + 1946670}}{30}\)

\(kd = \frac{-2405.3 + \sqrt{7732131.09}}{30}\)

\(kd = \frac{-2405.3 + 2780.67}{30}\)

\(kd = \frac{375.37}{30}\) = 12.51 সেমি।

যেহেতু প্রকৃত kd (12.51 সেমি) ছাদের পুরত্ব t (12 সেমি) থেকে সামান্য বেশি, তাই নিউট্রাল অক্ষ ওয়েবে অবস্থিত হওয়ার অনুমানটি সঠিক এবং A_s এর হিসাব গ্রহণযোগ্য।

ছ. রডের সংখ্যা নির্ধারণ (Selection of Reinforcement Bars):

    
• প্রয়োজনীয় A_s = 30.53 cm²
    
• ধরা যাক, 25 mm ব্যাসের রড ব্যবহার করা হবে।
    
• একটি 25 mm রডের ক্ষেত্রফল = \(\frac{\pi}{4} \times (2.5)^2\) = 4.9087 cm²
    
• প্রয়োজনীয় রডের সংখ্যা = \(\frac{30.53}{4.9087}\) = 6.22 টি
    
• অতএব, 7 টি 25 mm ব্যাসের রড ব্যবহার করা যেতে পারে।
    
• প্রদত্ত রডের মোট ক্ষেত্রফল (A_{s_provided}) = \(7 \times 4.9087\) = 34.36 cm²

৪. চূড়ান্ত ফলাফল (Final Result):

বিমটির প্রস্থচ্ছেদের আকার:

    
• মোট গভীরতা (h) = 70 সেমি
    
• ওয়েবের প্রস্থ (b_w) = 30 সেমি
    
• কার্যকর ফ্ল্যাঞ্জের প্রস্থ (b_f) = 205 সেমি
    
• ছাদের পুরত্ব (t) = 12 সেমি

প্রধান লোহার পরিমাণ:

    
• 7 টি 25 mm ব্যাসের রড।