একটি সামান্তরিকের পরিসীমা 112 সে.মি. এবং সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের অনুপাত 15 : 13। একটি বৃত্তের পরিধি একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমার সমান।

ধরি, সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের সমান বাহু = a একক

সুতরাং অতিভুজ $=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2a^2}=\sqrt{2}a$ একক

প্রশ্নমতে, $\sqrt{2}a=4\sqrt{2}$

∴a = 4

∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2}\times a\times a$ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}\times 4\times 4$ বর্গমিটার = 8 বর্গমিটার

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল 8 বর্গমিটার

ধরি, সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহুদ্বয় যথাক্রমে 15x ও 13x.

∴ সামান্তরিকের পরিসীমা = 2(15x + 13x)

প্রশ্নমতে, 2(15x + 13x) = 112

বা, 2 $\times$ 28x = 112

বা, 56x = 112

∴ x = 2

সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহুদ্বয়, 15 $\times$ 2 =30 সে.মি.

ও 13 $\times$ 2 = 26 সে.মি.

ধরি, ABCD সামান্তরিকের AB বাহু = C(30,7) এবং BC বাহু = 26 সে.মি. এবং ক্ষুদ্রতম কর্ণ, AC = 28 সে.মি.।

এখন, D ও C বিন্দু হতে AB এর বর্ধিতাংশ ও AB এর উপর যথাক্রমে DE ও CE লম্ব আঁকি। A, C ও B, D যোগ করি।

∴ Δ ABC এর অর্ধপরিসীমা, $s =\frac{AB + BC + AC}{2}$

$=\frac{30 + 26 + 28}{2}$সে.মি.

$=\frac{84}{2}$ সে.মি. = 42 সে.মি.

∴ Δ ABC এর ক্ষেত্রফল $=\sqrt{s(s - AB)(s - BC)(s - AC)}$ বর্গ একক

$=\sqrt{42(42 - 30)(42 - 26)(42 - 28)}$ বর্গ সে.মি.

$=\sqrt{42 \times 12 \times 16 \times 14}$ বর্গ সে.মি.

$=\sqrt{112896}$ বর্গ সে.মি. = 336 বর্গ সে.মি.

আবার, Δ ABC এর ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2}\times AB\times CE$ বর্গ একক

বা, $\frac{1}{2}\times AB\times CE=336$

বা, $CE=\frac{336\times 2}{AB}$ $=\frac{336\times 2}{30}=\frac{672}{30}=22.4$

∴ CE =22.4 সে.মি.

অর্থাৎ, সামান্তরিকের উচ্চতা, CE = DF = 22.4 সে.মি.

ABCD সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = AB$\times$CE বর্গ একক

$= (30 \times 22.4)$ বর্গ সে.মি. = 672 বর্গ সে.মি.

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল 672 বর্গ সে.মি.।

মনে করি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r একক

অতএব, বৃত্তের ক্ষেত্রফল = ${\mathrm{\pi r}}^2$ বর্গ একক এবং বৃত্তের পরিধি = $2\mathrm{\pi r}$ একক

প্রশ্নানুযায়ী, সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা = $2\mathrm{\pi r}$ একক

∴ এক বাহুর দৈর্ঘ্য, $a=\frac{2\mathrm{\pi r}}{3}$ একক

এখন, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$; যেখানে সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a

$=\frac{\sqrt{3}}{4}{\left(\frac{2\mathrm{\pi r}}{3}\right)}^2=\frac{\sqrt{3}}{4}.\frac{4{\mathrm{\pi }}^2{\mathrm{r}}^2}{9}=\frac{{\mathrm{\pi }}^2{\mathrm{r}}^2}{3\sqrt{3}}$ বর্গ একক

অতএব, বৃত্তের ক্ষেত্রফল : সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $={\mathrm{\pi r}}^2:\frac{{\mathrm{\pi }}^2{\mathrm{r}}^2}{3\sqrt{3}}$ $=3\sqrt{3}:\mathrm{\pi }$