একটি স্থান থেকে অপর একটি স্থানে সাইকেল চালিয়ে যেতে ৩০২৭৬ সেকেন্ড লাগে। একই দূরত্ব পায়ে হেঁটে গেলে তার ৬৫১২২৪ সেকেন্ড লাগে।

সুতরাং ১২ = $২\times ২\times ৩$

∴ ১২ এর মৌলিক গুণনীয়ক ২ ও ৩ (উত্তর)

প্রথম সংখ্যাটি ১৫৬২৫

এখন,

∴ ১৫৬২৫ এর বর্গমূল ১২৫ (উত্তর)

দ্বিতীয় সংখ্যাটি ৫৬০০

∴ ৫৬০০ =$(২ \times ২) \times (২\times ২) \times ২ \times (৫ \times ৫) \times ৭$

দেখা যাচ্ছে, উৎপাদক ২ ও ৭ জোড়াবিহীন।

সুতরাং প্রদত্ত সংখ্যাটিকে (২ $\times$ ৭)

বা ১৪ দ্বারা গুণ করলে গুণফল পূর্ণবর্গ হবে।

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ১৪ (উত্তর)

প্রথম সংখ্যাটি ৪৩২।

∴ ৪৩২ = (২$\times$২) $\times$ (২$\times$২) $\times$ (৩$\times$৩) $\times$৩

দেখা যাচ্ছে, উৎপাদক ৩ জোড়াবিহীন। যদি ৩ জোড়ায় থাকতো তাহলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ হত।

∴ ৪৩২ সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ নয়। (উত্তর)

উদ্দীপকের দ্বিতীয় সংখ্যাটি ৫৪০০।

∴ ৫৪০০ = (২ $\times$ ২) $\times$ ২ $\times$ (৩$\times$৩) $\times$ ৩.০ (৫ $\times$ ৫)

দেখা যাচ্ছে, উৎপাদক ২ ও ৩ জোড়াবিহীন। সুতরাং (২ $\times$ ৩) অর্থাৎ ৬ দ্বারা গুণ করলে গুণফল পূর্ণবর্গ হবে।

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৬ (উত্তর)

উদ্দীপকের সংখ্যা দুইটির সমষ্টি = ৪৩২ + ৫৪০০ = ৫৮৩২

∴ ৫৮৩২ সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ নয়। ৫৮৩২ এর সাথে কোনো একটি ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে তা পূর্ণবর্গ হবে এবং তখন এর বর্গমূল হবে (৭৬ + ১) বা ৭৭।

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি= (৭৭ $\times$ ৭৭) - ৫৮৩২

= ৫৯২৯ - ৫৮৩২ = ৯৭

∴ সংখ্যা দুইটির সমষ্টির সাথে অর্থাৎ ৫৮৩২ এর সাথে ৯৭

যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে। (উত্তর)