এনট্রপি কাকে বলে? (জ্ঞানমূলক)

স্থির চাপে কোনো গ্যাসের তাপমাত্রা 1K বৃদ্ধি করতে প্রয়োজনীয় তাপকে মোলার আপেক্ষিক তাপ (\(C_p\)) বলে। অন্যদিকে, স্থির আয়তনে কোনো গ্যাসের তাপমাত্রা 1K বৃদ্ধি করতে প্রয়োজনীয় তাপকে মোলার আপেক্ষিক তাপ (\(C_v\)) বলে। আদর্শ গ্যাসের ক্ষেত্রে \(C_p\) ও \(C_v\) এর মধ্যে সম্পর্ক হলো \(C_p - C_v = R\), যেখানে \(R\) হলো মোলার গ্যাস ধ্রুবক। যেহেতু \(R\) একটি ধনাত্মক রাশি, তাই \(C_p\) সবসময় \(C_v\) অপেক্ষা বড় হয়, অর্থাৎ \(C_v\) সর্বদা \(C_p\) অপেক্ষা ছোট।

যখন স্থির আয়তনে কোনো গ্যাসের তাপমাত্রা বৃদ্ধি করা হয়, তখন সরবরাহকৃত সম্পূর্ণ তাপ কেবলমাত্র গ্যাসের অভ্যন্তরীণ শক্তি বৃদ্ধিতে ব্যবহৃত হয়। কিন্তু স্থির চাপে তাপমাত্রা বৃদ্ধি করার সময়, সরবরাহকৃত তাপের একটি অংশ গ্যাসের অভ্যন্তরীণ শক্তি বৃদ্ধিতে ব্যবহৃত হয় এবং বাকি অংশ গ্যাস দ্বারা বাহ্যিক কাজ (আয়তন প্রসারণজনিত কাজ) সম্পন্ন করতে ব্যবহৃত হয়। একই পরিমাণ তাপমাত্রা বৃদ্ধির জন্য, স্থির চাপে বাহ্যিক কাজ সম্পাদনের অতিরিক্ত তাপের প্রয়োজন হয়। একারণেই \(C_p\) এর মান \(C_v\) এর মান অপেক্ষা বেশি হয়, যার ফলে \(C_v\) সর্বদা \(C_p\) অপেক্ষা ছোট হয়।

উদ্দীপকের কার্নো চক্রের P-V লেখচিত্র থেকে প্রাপ্ত তথ্য অনুযায়ী, A বিন্দুতে কার্যকর পদার্থের আয়তন \(V_A = 3 \times 10^{-3} \text{m}^3\)। উচ্চ তাপমাত্রার সমোষ্ণ প্রক্রিয়াটি \(T_1 = 550 \text{K}\) তাপমাত্রায় এবং নিম্ন তাপমাত্রার সমোষ্ণ প্রক্রিয়াটি \(T_2 = 330 \text{K}\) তাপমাত্রায় সংঘটিত হয়। সমোষ্ণ প্রসারণের আয়তন অনুপাত \(\frac{V_2}{V_1} = 2\) এবং কার্যকর পদার্থের জন্য রুদ্ধতাপীয় সূচক \(\gamma = 1.4\)। আমাদের 'C' বিন্দুতে কার্যকর পদার্থের আয়তন \(V_C\) নির্ণয় করতে হবে।

C বিন্দুর আয়তন নির্ণয়ের জন্য প্রথমে A থেকে B পর্যন্ত সমোষ্ণ প্রসারণ বিবেচনা করে B বিন্দুর আয়তন \(V_B\) নির্ণয় করা প্রয়োজন। উদ্দীপকে দেওয়া সমোষ্ণ প্রসারণের আয়তন অনুপাত \(\frac{V_B}{V_A}\) ব্যবহার করে \(V_B\) এর মান পাওয়া যাবে। এরপর B থেকে C পর্যন্ত রুদ্ধতাপীয় প্রসারণ প্রক্রিয়াটি বিবেচনা করতে হবে। রুদ্ধতাপীয় প্রক্রিয়ার ক্ষেত্রে, তাপমাত্রা \(T\) এবং আয়তন \(V\) এর মধ্যে সম্পর্কটি হলো \(T V^{\gamma-1} = \text{ধ্রুবক}\)। এই সূত্রটি B এবং C বিন্দুর জন্য প্রয়োগ করে \(V_C\) এর মান সহজেই নির্ণয় করা যায়।

উদ্দীপক থেকে আমরা পাই,

A বিন্দুর আয়তন, \(V_A = 3 \times 10^{-3} \text{m}^3\)

সমোষ্ণ প্রসারণের আয়তন অনুপাত, \(\frac{V_B}{V_A} = 2\)

সুতরাং, B বিন্দুর আয়তন, \(V_B = 2 \times V_A = 2 \times (3 \times 10^{-3}) \text{m}^3 = 6 \times 10^{-3} \text{m}^3\)

B এবং C বিন্দুর তাপমাত্রা যথাক্রমে \(T_B = T_1 = 550 \text{K}\) এবং \(T_C = T_2 = 330 \text{K}\)।

রুদ্ধতাপীয় সূচক, \(\gamma = 1.4\)

B থেকে C পর্যন্ত রুদ্ধতাপীয় প্রসারণের জন্য,

\(T_B V_B^{\gamma-1} = T_C V_C^{\gamma-1}\)

\(V_C^{\gamma-1} = \frac{T_B}{T_C} V_B^{\gamma-1}\)

\(V_C = V_B \left( \frac{T_B}{T_C} \right)^{\frac{1}{\gamma-1}}\)

\(V_C = (6 \times 10^{-3}) \text{m}^3 \times \left( \frac{550 \text{K}}{330 \text{K}} \right)^{\frac{1}{1.4-1}}\)

\(V_C = (6 \times 10^{-3}) \times \left( \frac{5}{3} \right)^{\frac{1}{0.4}}\)

\(V_C = (6 \times 10^{-3}) \times \left( \frac{5}{3} \right)^{2.5}\)

\(V_C \approx (6 \times 10^{-3}) \times (1.6667)^{2.5}\)

\(V_C \approx (6 \times 10^{-3}) \times 3.5863\)

\(V_C \approx 21.5178 \times 10^{-3} \text{m}^3\)

অতএব, C বিন্দুতে কার্যকর পদার্থের আয়তন প্রায় \(2.152 \times 10^{-2} \text{m}^3\)।

একটি কার্নো চক্রের দুটি পর্যায়, সমোষ্ণ প্রসারণ (AB) এবং রুদ্ধতাপীয় প্রসারণ (BC), এ সম্পাদিত কাজ ভিন্ন প্রকৃতির এবং তাদের পরিমাণ সাধারণত সমান হয় না। সমোষ্ণ প্রসারণে (AB) তাপমাত্রা স্থির থাকে এবং গ্যাসের অভ্যন্তরীণ শক্তির কোনো পরিবর্তন হয় না; সকল তাপ শক্তি কাজে রূপান্তরিত হয়। অন্যদিকে, রুদ্ধতাপীয় প্রসারণে (BC) কোনো তাপের আদান-প্রদান হয় না, কিন্তু গ্যাস কাজ করার ফলে তার অভ্যন্তরীণ শক্তি হ্রাস পায় এবং তাপমাত্রা কমে যায়। এই দুটি প্রক্রিয়ার কৃতকাজ গাণিতিকভাবে যাচাই করে তাদের সমতা নির্ণয় করা সম্ভব।

প্রদত্ত চিত্রে, AB পর্যায়টি একটি সমোষ্ণ প্রসারণ প্রক্রিয়া যেখানে তাপমাত্রা \(T_1 = 550 \text{ K}\)। এখানে গ্যাস \(V_A\) আয়তন থেকে \(V_B\) আয়তনে প্রসারিত হয়। চিত্র অনুযায়ী, \(V_A = V_1 = 3 \times 10^{-3} \text{ m}^3\)। প্রসারণ অনুপাত \(\frac{V_B}{V_A} = \frac{V_2}{V_1} = 2\), অর্থাৎ \(V_B = 2V_A\)। সুতরাং, AB পর্যায়ে সম্পাদিত কাজ \(W_{AB}\) এর সূত্র হলো: \[W_{AB} = nRT_1 \ln\left(\frac{V_B}{V_A}\right)\] এখানে, \(n = 1 \text{ mol}\), \(R = 8.31 \text{ J K}^{-1} \text{ mol}^{-1}\), \(T_1 = 550 \text{ K}\) এবং \(\frac{V_B}{V_A} = 2\)। মান বসিয়ে পাই: \[W_{AB} = 1 \times 8.31 \times 550 \times \ln(2)\] \[W_{AB} = 4570.5 \times 0.6931\] \[W_{AB} \approx 3167.4 \text{ J}\]

অন্যদিকে, BC পর্যায়টি একটি রুদ্ধতাপীয় প্রসারণ প্রক্রিয়া যেখানে গ্যাস \(T_1 = 550 \text{ K}\) থেকে \(T_2 = 330 \text{ K}\) তাপমাত্রায় প্রসারিত হয়। এখানে কোনো তাপের আদান-প্রদান হয় না। BC পর্যায়ে সম্পাদিত কাজ \(W_{BC}\) এর সূত্র হলো: \[W_{BC} = \frac{nR}{\gamma-1}(T_B - T_C)\] এখানে, \(n = 1 \text{ mol}\), \(R = 8.31 \text{ J K}^{-1} \text{ mol}^{-1}\), \(\gamma = 1.4\), \(T_B = T_1 = 550 \text{ K}\) এবং \(T_C = T_2 = 330 \text{ K}\)। মান বসিয়ে পাই: \[W_{BC} = \frac{1 \times 8.31}{1.4 - 1}(550 - 330)\] \[W_{BC} = \frac{8.31}{0.4}(220)\] \[W_{BC} = 20.775 \times 220\] \[W_{BC} \approx 4570.5 \text{ J}\]

উপরোক্ত গাণিতিক বিশ্লেষণ থেকে দেখা যাচ্ছে যে, AB পর্যায়ে সম্পাদিত কাজ \(W_{AB} \approx 3167.4 \text{ J}\) এবং BC পর্যায়ে সম্পাদিত কাজ \(W_{BC} \approx 4570.5 \text{ J}\)। যেহেতু \(3167.4 \text{ J} \neq 4570.5 \text{ J}\), তাই AB এবং BC পর্যায়ে কৃতকাজ সমান হবে না। রুদ্ধতাপীয় প্রসারণের ক্ষেত্রে গ্যাসের তাপমাত্রা পরিবর্তনের কারণে সমোষ্ণ প্রসারণের চেয়ে ভিন্ন পরিমাণ কাজ সম্পাদিত হয়, যা এই ফলাফলের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ।