কত দিন পর উদ্দীপকের B-মৌলের অক্ষত পরমাণুর ভর A-মৌলের অক্ষত পরমাণুর ভরের দ্বিগুণ হবে-গাণিতিক বিশ্লেষণের সাহায্যে উত্তর (উচ্চতর দক্ষতা)

উদ্দীপকের তথ্যানুসারে দুটি তেজস্ক্রিয় মৌল A ও B এর অর্ধায়ু দেওয়া আছে এবং তাদের প্রারম্ভিক ভর একই। প্রশ্নটিতে এমন একটি সময় (দিন) নির্ণয় করতে বলা হয়েছে, যখন B মৌলের অক্ষত পরমাণুর ভর A মৌলের অক্ষত পরমাণুর ভরের দ্বিগুণ হবে। এটি গাণিতিক বিশ্লেষণের মাধ্যমে সমাধান করতে হবে।

তেজস্ক্রিয় ক্ষয় সূত্রানুসারে, কোনো তেজস্ক্রিয় মৌলের 't' সময় পর অক্ষত পরমাণুর ভর নির্ণয়ের সূত্রটি হলো: \(m = m_0 (1/2)^{t/T_{1/2}}\), যেখানে \(m_0\) হলো প্রারম্ভিক ভর, \(m\) হলো 't' সময় পর অক্ষত পরমাণুর ভর এবং \(T_{1/2}\) হলো অর্ধায়ু। উদ্দীপকে দেওয়া আছে, A মৌলের অর্ধায়ু \(T_{1/2, A} = 4\) দিন এবং B মৌলের অর্ধায়ু \(T_{1/2, B} = 6\) দিন। দুটি মৌলের প্রারম্ভিক ভর একই, ধরা যাক \(m_0\)।

ধরি, 't' দিন পর B মৌলের অক্ষত পরমাণুর ভর A মৌলের অক্ষত পরমাণুর ভরের দ্বিগুণ হবে। প্রশ্নানুসারে, \(m_B = 2m_A\)

এখন, সূত্র ব্যবহার করে A ও B মৌলের অক্ষত ভর নির্ণয় করি:

A মৌলের জন্য: \(m_A = m_0 (1/2)^{t/4}\)

B মৌলের জন্য: \(m_B = m_0 (1/2)^{t/6}\)

শর্তানুসারে \(m_B = 2m_A\) হওয়ায়, সমীকরণে মান বসিয়ে পাই:

\(m_0 (1/2)^{t/6} = 2 \cdot m_0 (1/2)^{t/4}\)

উভয় পক্ষকে \(m_0\) দ্বারা ভাগ করে:

\((1/2)^{t/6} = 2 \cdot (1/2)^{t/4}\)

বা, \((2^{-1})^{t/6} = 2^1 \cdot (2^{-1})^{t/4}\)

বা, \(2^{-t/6} = 2^1 \cdot 2^{-t/4}\)

বা, \(2^{-t/6} = 2^{1 - t/4}\)

উভয় পাশের ভিত্তি একই (2) হওয়ায় ঘাতগুলোকে সমীকরণ আকারে লিখতে পারি:

\(-t/6 = 1 - t/4\)

\(t/4 - t/6 = 1\)

সাধারণ হর (লসাগু) 12 দিয়ে সমাধান করে পাই:

\((3t - 2t)/12 = 1\)

\(t/12 = 1\)

\(t = 12\) দিন

সুতরাং, গাণিতিক বিশ্লেষণ থেকে দেখা যায় যে, 12 দিন পর উদ্দীপকের B-মৌলের অক্ষত পরমাণুর ভর A-মৌলের অক্ষত পরমাণুর ভরের দ্বিগুণ হবে। এই সময়ে A এবং B মৌলদ্বয় তেজস্ক্রিয় ক্ষয় প্রক্রিয়ার মধ্য দিয়ে তাদের ভরের নির্দিষ্ট অনুপাতে পৌঁছাবে।