করিম সাহেবের মাসিক গড় আয় 50,000 টাকা । ইহা কি পরিসংখ্যান ? ব্যাখ্যা কর। (অনুধাবন)

চলক হলো এমন একটি বৈশিষ্ট্য বা পরিমাপ যা বিভিন্ন মান গ্রহণ করতে পারে এবং যার মান পরিস্থিতির পরিবর্তনের সাথে পরিবর্তিত হতে পারে।

পরিসংখ্যানে, কোনো তথ্য সেটের উপাদানগুলির মধ্যে যে গুণ বা বৈশিষ্ট্য বিভিন্ন মান বা শ্রেণি ধারণ করে, তাকে চলক (Variable) বলে। চলকের মান একেক পর্যবেক্ষণে একেকরকম হতে পারে। এটি এমন একটি সত্তা যা অপরিবর্তনীয় নয় এবং পরিমাপের মাধ্যমে এর মান পরিবর্তিত হতে পারে।

উদাহরণস্বরূপ:

    
• ব্যক্তির বয়স, উচ্চতা, ওজন, আয় ইত্যাদি হলো সংখ্যাবাচক (Quantitative) চলক, কারণ এদেরকে সংখ্যা দ্বারা পরিমাপ করা যায়।
    
• ব্যক্তির লিঙ্গ, শিক্ষাগত যোগ্যতা, রক্তের গ্রুপ, ধর্ম ইত্যাদি হলো গুণবাচক (Qualitative) চলক, কারণ এদেরকে গুণ বা বৈশিষ্ট্য দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

পরিসংখ্যানে উপাত্ত সংগ্রহ, বিশ্লেষণ ও ব্যাখ্যার জন্য চলকের ধারণা অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। চলক মূলত দুই প্রকারের হতে পারে: বিচ্ছিন্ন চলক (Discrete Variable) এবং অবিচ্ছিন্ন চলক (Continuous Variable)।

উদ্দীপকে প্রদত্ত উপাত্তে \(x_i\) এর মানসমূহ উল্লেখ থাকলে, নিম্নের পদ্ধতি অনুসরণ করে প্রদত্ত রাশির মান নির্ণয় করা যাবে:

প্রদত্ত রাশিটি হলো:

\[\sum_{i=1}^{10} (x_i - 12)\]

যোগফলের (summation) ধর্ম অনুযায়ী, এটিকে নিম্নোক্তভাবে লেখা যায়:

\[\sum_{i=1}^{10} x_i - \sum_{i=1}^{10} 12\]

এখন, দ্বিতীয় পদটি গণনা করা যাক:

\[\sum_{i=1}^{10} 12 = 12 \times 10 = 120\]

অতএব, রাশিটি দাঁড়ায়:

\[\sum_{i=1}^{10} x_i - 120\]

এখন, উদ্দীপক থেকে \(x_i\) এর মানসমূহ সংগ্রহ করে সেগুলোর যোগফল \(\left(\sum_{i=1}^{10} x_i\right)\) নির্ণয় করতে হবে।

ধরি, উদ্দীপকের উপাত্ত থেকে \(\sum_{i=1}^{10} x_i = K\) পাওয়া যায়।

তাহলে, প্রদত্ত রাশির মান হবে:

\[K - 120\]

উদাহরণস্বরূপ, যদি উদ্দীপকে \(x_i\) এর মানগুলোর যোগফল \(\left(\sum_{i=1}^{10} x_i\right)\) 200 হয়, তাহলে

রাশির মান = \(200 - 120 = 80\)

উদ্দীপকটি দেওয়া না থাকায়, উদ্দীপকের আলোকে সরাসরি "হ্যাঁ" বা "না" বলা সম্ভব নয়। তবে, গাণিতিকভাবে যাচাই করে এই অসমতাটি ($\sum _{i=1}^{10}{\left(x_i-11\right)}^2<\sum _{i=1}^{10}{\left(x_i-4\right)}^2$) কখন সত্য হবে তা নির্ণয় করা যায়।

আমরা জানি, কোনো তথ্যসারির পদসমূহের তাদের গাণিতিক গড় (Arithmetic Mean) থেকে বিচ্যুতির বর্গের সমষ্টি সর্বনিম্ন হয়। এখানে, অসমতার বামপক্ষ ও ডানপক্ষ উভয়ই বিচ্যুতির বর্গের সমষ্টি নির্দেশ করে।

দেওয়া আছে:

$\sum _{i=1}^{10}{\left(x_i-11\right)}^2<\sum _{i=1}^{10}{\left(x_i-4\right)}^2$

বামপক্ষকে বিস্তারিত করলে পাই:

$\sum _{i=1}^{10}\left(x_i^2-22x_i+121\right)$

$=\sum _{i=1}^{10}{x}_i^2-22\sum _{i=1}^{10}{x}_i+\sum _{i=1}^{10}121$

$=\sum _{i=1}^{10}{x}_i^2-22\sum _{i=1}^{10}{x}_i+121\times 10$

$=\sum _{i=1}^{10}{x}_i^2-22\sum _{i=1}^{10}{x}_i+1210$

ডানপক্ষকে বিস্তারিত করলে পাই:

$\sum _{i=1}^{10}\left(x_i^2-8x_i+16\right)$

$=\sum _{i=1}^{10}{x}_i^2-8\sum _{i=1}^{10}{x}_i+\sum _{i=1}^{10}16$

$=\sum _{i=1}^{10}{x}_i^2-8\sum _{i=1}^{10}{x}_i+16\times 10$

$=\sum _{i=1}^{10}{x}_i^2-8\sum _{i=1}^{10}{x}_i+160$

অসমতাটি প্রতিষ্ঠা করার জন্য, আমরা পাই:

$\sum _{i=1}^{10}{x}_i^2-22\sum _{i=1}^{10}{x}_i+1210<\sum _{i=1}^{10}{x}_i^2-8\sum _{i=1}^{10}{x}_i+160$

উভয়পক্ষ থেকে $\sum _{i=1}^{10}{x}_i^2$ বাদ দিয়ে পাই:

$-22\sum _{i=1}^{10}{x}_i+1210<-8\sum _{i=1}^{10}{x}_i+160$

পদগুলো পুনর্বিন্যাস করে পাই:

$1210-160<-8\sum _{i=1}^{10}{x}_i+22\sum _{i=1}^{10}{x}_i$

$1050<14\sum _{i=1}^{10}{x}_i$

$\frac{1050}{14}<\sum _{i=1}^{10}{x}_i$

$75<\sum _{i=1}^{10}{x}_i$

যেহেতু পদসংখ্যা (Number of terms), \(n=10\), এবং গাণিতিক গড়, $\overline{x}=\frac{\sum _{i=1}^{10}{x}_i}{10}$, তাই $\sum _{i=1}^{10}{x}_i=10\overline{x}$।

সুতরাং, অসমতাটি দাঁড়ায়:

$75<10\overline{x}$

$\frac{75}{10}<\overline{x}$

$7.5<\overline{x}$

অতএব, উদ্দীপকের আলোকে দেওয়া অসমতাটি সত্য হবে যদি তথ্যসারির গাণিতিক গড় ($\overline{x}$) 7.5 এর চেয়ে বড় হয়। উদ্দীপকে যদি $\overline{x}>7.5$ হয়, তাহলে বলা যাবে "হ্যাঁ", অন্যথায় "না"।