কাউন্টারের মোড নাম্বার কী?

ডি-মরগ্যানের ১ম উপপাদ্যটি হলো \( \overline{A+B} = \overline{A} \cdot \overline{B} \) । এই উপপাদ্যটি নির্দেশ করে যে, দুটি চলকের (variables) যৌক্তিক যোগফলের (logical sum) পরিপূরক (complement) তাদের পৃথক পৃথক পরিপূরকসমূহের যৌক্তিক গুণফলের (logical product) সমান। এটি ডিজিটাল লজিকে NOR গেট এবং Bubbled AND গেট-এর সমতুল্যতা প্রমাণ করে।

২ চলকের জন্য এই উপপাদ্যটি সার্কিটের মাধ্যমে প্রদর্শনের জন্য দুটি সমতুল্য সার্কিট ব্যবহার করা হয়। প্রথমত, A ও B ইনপুট দুটিকে একটি OR গেটে প্রবেশ করিয়ে প্রাপ্ত আউটপুটকে একটি NOT গেটে প্রবেশ করালে \( \overline{A+B} \) পাওয়া যায়, যা একটি NOR গেটের (NOR gate) মাধ্যমে সম্পন্ন হয়। দ্বিতীয়ত, A ও B ইনপুট দুটিকে পৃথকভাবে দুটি NOT গেটে প্রবেশ করিয়ে তাদের আউটপুটকে একটি AND গেটে প্রবেশ করালে \( \overline{A} \cdot \overline{B} \) পাওয়া যায়, যা একটি Bubbled AND গেটের (Bubbled AND gate) মাধ্যমে বাস্তবায়িত হয়। এই দুটি সার্কিট একই লজিক্যাল ফাংশন (logical function) সম্পাদন করে।

NOR গেইট একটি সার্বজনীন গেইট বা ইউনিভার্সাল গেইট (Universal Gate)। এর কারণ হলো, এই গেইট ব্যবহার করে অন্যান্য মৌলিক গেইটগুলো (NOT, OR, AND) তৈরি করা যায়। উদ্দীপকে একটি সাধারণ লজিক বর্তনীকে নির্দেশ করা হয়েছে, যা দুইটি ইনপুট এবং দুইটি আউটপুট প্রদর্শন করছে। যেকোনো জটিল লজিক বর্তনী, এমনকি উদ্দীপকের ন্যায় একটি সাধারণ ব্লক চিত্রকেও যদি নির্দিষ্ট কোনো লজিক ফাংশন হিসেবে বিবেচনা করা হয়, তবে তাকে NOR গেইট ব্যবহার করে বাস্তবায়ন করা সম্ভব, কারণ NOR গেইট ব্যবহার করে সকল মৌলিক গেইট তৈরি করা যায় এবং এর মাধ্যমে যেকোনো ডিজিটাল লজিক ফাংশন বাস্তবায়ন করা সম্ভব।

প্রথমে, একটি NOT গেইট বাস্তবায়ন করা যায় একটি NOR গেইটের উভয় ইনপুটকে একত্রে সংযুক্ত করে। যদি একটি NOR গেইটের ইনপুট A হয়, তাহলে আউটপুট হবে \(\overline{A+A} = \overline{A}\)। এটি একটি NOT গেইটের সমতুল্য। দ্বিতীয়ত, একটি OR গেইট তৈরি করতে একটি NOR গেইটের আউটপুটকে আরেকটি NOT গেইট (যা একটি NOR গেইট দ্বারা গঠিত) দিয়ে ইনভার্ট করতে হয়। অর্থাৎ, যদি A ও B ইনপুট হয়, তাহলে প্রথম NOR গেইটের আউটপুট হবে \(\overline{A+B}\)। এই আউটপুটকে আরেকটি NOR গেইট ব্যবহার করে NOT করলে পাওয়া যাবে \(\overline{\overline{A+B}} = A+B\), যা একটি OR গেইটের সমতুল্য।

সবশেষে, একটি AND গেইট বাস্তবায়ন করতে তিনটি NOR গেইট প্রয়োজন। প্রথমে, ইনপুট A এবং B কে দুটি আলাদা NOR গেইট ব্যবহার করে NOT করতে হবে। এর ফলে আমরা পাবো \(\overline{A}\) এবং \(\overline{B}\)। এরপর এই \(\overline{A}\) এবং \(\overline{B}\) কে তৃতীয় NOR গেইটের ইনপুট হিসেবে ব্যবহার করলে আউটপুট হবে \(\overline{\overline{A}+\overline{B}}\)। ডি-মরগ্যানের সূত্রানুযায়ী, \(\overline{\overline{A}+\overline{B}} = A \cdot B\), যা একটি AND গেইটের সমতুল্য। এভাবে NOR গেইট ব্যবহার করে মৌলিক গেইটগুলো তৈরি করা যায়, যা এর সার্বজনীনতা প্রমাণ করে এবং যেকোনো লজিক বর্তনী বাস্তবায়নে সহায়তা করে, যেমনটি উদ্দীপকের সাধারণ বর্তনীতে বোঝানো হয়েছে।

পূর্ণ অ্যাডার হলো একটি ডিজিটাল বর্তনী যা তিনটি একক বিট যোগ করতে পারে: দুটি ইনপুট বিট (A, B) এবং একটি পূর্ববর্তী ক্যারি বিট (C_in)। এর দুটি আউটপুট থাকে: যোগফল (Sum) এবং ক্যারি আউটপুট (C_out)। দুটি বা ততোধিক বাইনারি বিট যোগ করার সময় পূর্ববর্তী ধাপের ক্যারি যোগ করার প্রয়োজন হয়, তাই পূর্ণ অ্যাডারের ব্যবহার অপরিহার্য।

উদ্দীপকে প্রদর্শিত বর্তনীটি একটি হাফ অ্যাডারকে নির্দেশ করে, যা দুটি ইনপুট বিট যোগ করে একটি যোগফল (Sum) এবং একটি ক্যারি (Carry) আউটপুট প্রদান করে। প্রশ্নানুযায়ী, যদি এই বর্তনীতে একটি ইনপুটের সংখ্যা বৃদ্ধি করা হয়, তবে এটি তিন ইনপুট বিশিষ্ট একটি বর্তনীতে রূপান্তরিত হবে, যা একটি পূর্ণ অ্যাডারের (Full Adder) কার্যক্রমকে নির্দেশ করে। একটি পূর্ণ অ্যাডার দুটি ইনপুট বিট এবং একটি ক্যারি-ইন বিট গ্রহণ করে যোগফল ও ক্যারি-আউট উৎপন্ন করে।

একটি পূর্ণ অ্যাডার দুটি হাফ অ্যাডার এবং একটি OR গেট ব্যবহার করে বাস্তবায়ন করা যায়। প্রথম হাফ অ্যাডারটি A এবং B ইনপুট দুটি গ্রহণ করে একটি আংশিক যোগফল (Sum1) এবং একটি ক্যারি-আউট (Cout1) উৎপন্ন করে। এরপর, এই আংশিক যোগফল (Sum1) এবং তৃতীয় ইনপুট C_in (ক্যারি-ইন) দ্বিতীয় হাফ অ্যাডারে ইনপুট হিসেবে প্রবেশ করে, যা চূড়ান্ত যোগফল (Sum) এবং দ্বিতীয় একটি ক্যারি-আউট (Cout2) উৎপন্ন করে।

প্রথম হাফ অ্যাডারের ক্যারি-আউট (Cout1) এবং দ্বিতীয় হাফ অ্যাডারের ক্যারি-আউট (Cout2) একটি OR গেটের মাধ্যমে সংযুক্ত হয়, যা চূড়ান্ত ক্যারি আউটপুট (C_out) প্রদান করে। এভাবে, দুটি হাফ অ্যাডার এবং একটি OR গেটের সমন্বয়ে উদ্দীপকের হাফ অ্যাডার বর্তনী ব্যবহার করে একটি পূর্ণ অ্যাডার সফলভাবে বাস্তবায়ন করা সম্ভব হয়, যা সার্কিট ডিজাইনে মডুলার পদ্ধতি প্রয়োগের একটি উদাহরণ।