কোনো একটি বস্তুর উপর $(5\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k})$ N বল প্রয়োগ করায় বস্তুটি (1, -1, 2) বিন্দু থেকে (4, 5, -3) বিন্দুতে স্থানান্তরিত হয়।

নৌকার গুণ টানার ক্ষেত্রে লম্বা দড়ি ব্যবহার করা হয় কারণ এতে দড়িটি নদীর পাড় বা অনুভূমিক তলের সাথে একটি ক্ষুদ্র কোণ তৈরি করে। ফলে প্রযুক্ত বলের অনুভূমিক উপাংশ বৃদ্ধি পায় এবং উল্লম্ব উপাংশ হ্রাস পায়, যা নৌকাকে সামনের দিকে টানতে অধিক কার্যকর হয়।

বলের উপাংশে বিভাজনের নীতি অনুসারে, যদি বল F হয় এবং অনুভূমিকের সাথে কোণ θ হয়, তাহলে অনুভূমিক উপাংশ হবে Fcosθ এবং উল্লম্ব উপাংশ হবে Fsinθ। লম্বা দড়ি ব্যবহার করলে θ এর মান কমে যায়। যেহেতু cosθ এর মান θ এর মান কমার সাথে সাথে বৃদ্ধি পায় এবং sinθ এর মান হ্রাস পায়, তাই অনুভূমিক দিকে কার্যকরী বল (Fcosθ) বেড়ে যায় এবং উল্লম্ব দিকের অপচয়ী বল (Fsinθ) কমে যায়। এটি গুণ টানার প্রক্রিয়াকে আরও সুবিধাজনক ও কার্যকর করে তোলে।

বস্তুর সরণ ভেক্টর হলো তার আদি অবস্থান থেকে শেষ অবস্থানের দিকে নির্দেশিত ভেক্টর। উদ্দীপকে একটি বস্তুর আদি ও শেষ অবস্থান নির্দিষ্ট বিন্দু স্থানাঙ্কের মাধ্যমে দেওয়া আছে। কোনো বস্তুর আদি অবস্থান ভেক্টর \( \vec{r_1} \) এবং শেষ অবস্থান ভেক্টর \( \vec{r_2} \) হলে, এর সরণ ভেক্টর \( \vec{S} \) হবে \( \vec{S} = \vec{r_2} - \vec{r_1} \)। এই গাণিতিক সম্পর্ক ব্যবহার করে বস্তুর সরণ ভেক্টর নির্ণয় করা সম্ভব।

উদ্দীপক অনুযায়ী, বস্তুর আদি অবস্থান বিন্দু (1, -1, 2)।
সুতরাং, আদি অবস্থান ভেক্টর, \( \vec{r_1} = (1\hat{i} - 1\hat{j} + 2\hat{k}) \)
এবং বস্তুর শেষ অবস্থান বিন্দু (4, 5, -3)।
সুতরাং, শেষ অবস্থান ভেক্টর, \( \vec{r_2} = (4\hat{i} + 5\hat{j} - 3\hat{k}) \)
এখন, সরণ ভেক্টর, \( \vec{S} = \vec{r_2} - \vec{r_1} \)
\( \vec{S} = (4\hat{i} + 5\hat{j} - 3\hat{k}) - (1\hat{i} - 1\hat{j} + 2\hat{k}) \)
\( \vec{S} = (4-1)\hat{i} + (5 - (-1))\hat{j} + (-3 - 2)\hat{k} \)
\( \vec{S} = (3)\hat{i} + (5 + 1)\hat{j} + (-5)\hat{k} \)
\( \vec{S} = (3\hat{i} + 6\hat{j} - 5\hat{k}) \) m

অতএব, উদ্দীপকের বস্তুর উপর বল প্রয়োগের ফলে এর সরণ ভেক্টর হলো \( (3\hat{i} + 6\hat{j} - 5\hat{k}) \) মিটার।

কোনো বস্তুর উপর বল প্রয়োগের ফলে যদি বলের দিকে বা বলের উপাংশের দিকে বস্তুর সরণ ঘটে, তবে কাজ সম্পন্ন হয়। কৃতকাজ একটি স্কেলার রাশি, যা বল ও সরণের ভেক্টর গুণফল (ডট গুণফল) দ্বারা নির্ণয় করা হয়। যদি কৃতকাজের মান ধনাত্মক হয়, তাহলে বুঝতে হবে কাজটি বলের পক্ষে হয়েছে অর্থাৎ বল গতি সৃষ্টিতে সহায়তা করেছে। আর যদি কৃতকাজের মান ঋণাত্মক হয়, তবে বুঝতে হবে কাজটি বলের বিপক্ষে হয়েছে অর্থাৎ বল গতির বিরুদ্ধে কাজ করেছে।

উদ্দীপকে একটি বস্তুর উপর প্রযুক্ত বল ও বস্তুর স্থানান্তরের প্রাথমিক ও শেষ অবস্থান দেওয়া আছে। প্রযুক্ত বল, \( \vec{F} = (5\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) \) N। বস্তুর প্রাথমিক অবস্থান ভেক্টর, \( \vec{r_1} = (1\hat{i} - 1\hat{j} + 2\hat{k}) \) এবং শেষ অবস্থান ভেক্টর, \( \vec{r_2} = (4\hat{i} + 5\hat{j} - 3\hat{k}) \)। এখন আমরা প্রথমে বস্তুর সরণ ভেক্টর (\( \vec{d} \)) নির্ণয় করব।

সরণ ভেক্টর, \( \vec{d} = \vec{r_2} - \vec{r_1} \)
\( \vec{d} = (4\hat{i} + 5\hat{j} - 3\hat{k}) - (1\hat{i} - 1\hat{j} + 2\hat{k}) \)
\( \vec{d} = (4-1)\hat{i} + (5-(-1))\hat{j} + (-3-2)\hat{k} \)
\( \vec{d} = (3\hat{i} + 6\hat{j} - 5\hat{k}) \) m
এখন কৃতকাজ \( W = \vec{F} \cdot \vec{d} \)
\( W = (5\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) \cdot (3\hat{i} + 6\hat{j} - 5\hat{k}) \)
\( W = (5 \times 3) + (2 \times 6) + (3 \times -5) \)
\( W = 15 + 12 - 15 \)
\( W = 12 \) J

গাণিতিক হিসাব থেকে দেখা যাচ্ছে যে, কৃতকাজের মান ধনাত্মক (12 J)। যেহেতু কৃতকাজের মান ধনাত্মক, সেহেতু কৃতকাজ বলের পক্ষে হয়েছে। এর অর্থ হলো, বল বস্তুর সরণের অভিমুখে কাজ করেছে বা বলের উপাংশ সরণের অভিমুখে কাজ করেছে। সুতরাং, উদ্দীপক অনুসারে কৃতকাজ বলের পক্ষে।