খরচের টাকার সংখ্যা ও চারাগাছের সংখ্যার বিয়োগফলের সাথে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণ বর্গসংখ্যা হবে?

নিচের সারণিটি লক্ষ করি:

১, ৪, ৯, ২৫, ৪৯ সংখ্যাগুলোর বৈশিষ্ট্য হলো যে, এগুলোকে অন্য কোনো পূর্ণসংখ্যার বর্গ হিসেবে প্রকাশ করা যায়। ১, ৪, ৯, ২৫, ৪৯ সংখ্যাগুলো পূর্ণ বর্গসংখ্যা।

পূর্ণবর্গ সংখ্যার বর্গমূল একটি স্বাভাবিক সংখ্যা।
যেমন: ২১ এর বর্গ ২১^২ বা ৪৪১ একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা এবং ৪৪১ এর বর্গমূল ২১ একটি স্বাভাবিক সংখ্যা।

বর্গসংখ্যার ধর্ম

নিচের সারণিতে ১ থেকে ২০ সংখ্যার বর্গসংখ্যা দেওয়া হয়েছে। খালি ঘরগুলো পূরণ কর।

সারণিভুক্ত বর্গসংখ্যাগুলোর এককের ঘরের অঙ্কগুলো ভালোভাবে পর্যবেক্ষণ করি। লক্ষ করি যে, এ সংখ্যাগুলোর একক স্থানীয় অঙ্ক ০, ১,৪, ৫, ৬ বা ৯। কোনো বর্গসংখ্যার একক স্থানে ২, ৩, ৭, বা ৮ অঙ্কটি নেই।

এবার সারণি থেকে একক স্থানে ১ রয়েছে এমন বর্গসংখ্যা নিই।

একইভাবে

এবং

• যে সংখ্যার সর্ব ডানদিকের অঙ্ক অর্থাৎ একক স্থানীয় অঙ্ক ২ বা ৩ বা ৭ বা ৮ তা পূর্ণবর্গ নয়।
• যে সংখ্যার শেষে বিজোড় সংখ্যক শূন্য থাকে, ঐ সংখ্যা পূর্ণবর্গ নয়।
• একক স্থানীয় অঙ্ক ১ বা ৪ বা ৫ বা ৬ বা ৯ হলে, ঐ সংখ্যা পূর্ণবর্গ হতে পারে। যেমন: ৮১, ৬৪, ২৫, ৩৬, ৪৯ ইত্যাদি বর্গসংখ্যা।
• আবার সংখ্যার ডানদিকে জোড়সংখ্যক শূন্য থাকলে ঐ সংখ্যা পূর্ণবর্গ হতে পারে। যেমন: ১০০, ৪৯০০ ইত্যাদি বর্গসংখ্যা।

নিচে বর্গমূলসহ কয়েকটি পূর্ণ বর্গসংখ্যার তালিকা দেওয়া হলো:

বর্গমূলের চিহ্ন

বর্গমূল প্রকাশের জন্য $\sqrt{}$ চিহ্ন ব্যবহৃত হয়। ২৫ এর বর্গমূল বোঝাতে লেখা হয় $\sqrt{২৫}$ আমরা জানি, ৫ $\times$ ৫ = ২৫, কাজেই ২৫ এর বর্গমূল ৫।

মৌলিক গুণনীয়কের সাহায্যে বর্গমূল নির্ণয়

১৬ কে মৌলিক গুণনীয়কে বিশ্লেষণ করে পাই

১৬ = ২$\times$২$\times$২$\times$২= (২ $\times$ ২) $\times$ (২$\times$২)

প্রতি জোড়া থেকে একটি করে গুণনীয়ক নিয়ে পাই ২ $\times$ ২ = ৪

$\therefore$ ১৬ এর বর্গমূল = $\sqrt{১৬}$ = ৪

আবার, ৩৬ কে মৌলিক গুণনীয়কে বিশ্লেষণ করে পাই,

$৩৬ = ২ \times ২ \times ৩ \times ৩ = (২ \times ২) \times (৩ \times ৩)$

প্রতি জোড়া থেকে একটি করে গুণনীয়ক নিয়ে পাই ২ $\times$ ৩ = ৬

৩৬ এর বর্গমূল = $\sqrt{৩৬}$ = ৬

লক্ষ করি: মৌলিক গুণনীয়কের সাহায্যে কোনো পূর্ণ বর্গসংখ্যার বর্গমূল নির্ণয় করার সময় -

• প্রথমে প্রদত্ত সংখ্যাটিকে মৌলিক গুণনীয়কে বিশ্লেষণ করতে হবে।
• প্রতি জোড়া একই গুণনীয়ককে একসাথে পাশাপাশি লিখতে হবে।
• প্রতি জোড়া এক জাতীয় গুণনীয়কের পরিবর্তে একটি গুণনীয়ক নিয়ে লিখতে হবে।
• প্রাপ্ত গুণনীয়কগুলোর ধারাবাহিক গুণফল হবে নির্ণেয় বর্গমূল।

উদাহরণ ১। ৩১৩৬ এর বর্গমূল নির্ণয় কর।

সমাধান:

এখানে,

$৩১৩৬ = ২\times ২\times ২\times ২\times ২\times ২\times ৭\times ৭$

$= (২ \times ২) \times (২ \times ২) \times (২\times ২) \times (৭ \times ৭)$

৩১৩৬ এর বর্গমূল = $\sqrt{৩১৩৬}$ $= ২\times ২\times ২\times ৭ = ৫৬$