গাণিতিক সমস্যার সমাধান

২০% লাভে ১০০ টাকার জিনিসের খুচরা মূল্য (১০০ + ২০) টাকা = ১২০ টাকা
খুচরা বিক্রয়মূল্য ১২০ টাকা হলে খুচরা বিক্রেতার ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
$\therefore$ ‘’       ‘’             ১     ‘’       ‘’       ‘’         ‘’              ‘’         $\frac{১০০}{১২০}$ ‘’
$\therefore$ ‘’       ‘’            ৫৭৬  ‘’       ‘’       ‘’         ‘’               ‘’     $\frac{{\displaystyle \stackrel{৫}{\cancel{১০০}}}\times {\displaystyle \stackrel{৯৬}{\cancel{৫৭৬}}}}{{\displaystyle \underset{\underset{১}{\cancel{৬}}}{\cancel{১২০}}}}$ ‘’
                                                                                              =৪৮ টাকা
যেহেতু খুচরা বিক্রেতার ক্রয়মূল্য = পাইকারি বিক্রেতার বিক্রয়মূল্য।
$\therefore$পাইকারি বিক্রেতার বিক্রয়মূল্য ৪৮০ টাকা
২০% লাভে পাইকারি বিক্রেতা ১০০ টাকার জিনিস বিক্রি করে (১০০ + ২০) টাকা = ১২০ টাকা
পাইকারি বিক্রেতার বিক্রয়মূল্য ১২০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
$\therefore$ ‘’         ‘’                ‘’              ১      ‘’       ‘’       ‘’          $\frac{১০০}{১২০}$ ‘’
$\therefore$ ‘’          ‘’                ‘’             ৪৮০ ‘’       ‘’       ‘’        $\frac{১০০\times {\displaystyle \stackrel{৪}{\cancel{৪৮০}}}}{{\displaystyle \underset{১}{\cancel{১২০}}}}$ ‘’
                                                                                      = ৪০০ টাকা
$\therefore$পাইকারি বিক্রেতার ক্রয়মূল্য ৪০০ টাকা।

ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে,
৫% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = (১০০ - ৫) টাকা = ৯৫ টাকা
বিক্রয়মূল্য ৯৫ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
$\therefore$ ‘’           ১    ‘’         ‘’        ‘’         $\frac{১০০}{৯৫}$ ‘’
$\therefore$  ‘’       ২৩৭৫  ‘’      ‘’         ‘’        $\frac{১০০\times {\displaystyle \stackrel{২৫}{\cancel{২৩৭৫}}}}{{\displaystyle \underset{১}{\cancel{৯৫}}}}$ ‘’
                                                          = ২৫০০ টাকা
আবার, ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে, ৬% লাভে বিক্রয়মূল্য (১০০ + ৬) টাকা
= ১০৬ টাকা
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য ১০৬ টাকা
‘’             ১        ‘’      ‘’         ‘’          $\frac{১০৬}{১০০}$ ‘’
$\therefore$ ‘’        ২৫০০  ‘’    ‘’         ‘’   $\frac{১০৬\times ২৫০০}{১০০}$ ‘’
                                                 = ২৬৫০ টাকা
নির্ণেয় বিক্রয়মূল্য ২৬৫০ টাকা।

১০টি কলার ক্রয়মূল্য ৩০ টাকা

১টি       “             ”         $\frac{৩০}{১০}=৩$ টাকা

আবার, ১৫টি কলার ক্রয়মূল্য ৩০ টাকা

   ∴         ১টি       “        ”       $\frac{৩০}{১৫}=২$       টাকা

(১ + ১) বা, ২টি কলার ক্রয়মূল্য ক্রয়মূল্য (৩+২) টাকা বা ৫ টাকা   

আবার, ১২টি কলার বিক্রয়মূল্য ৩০ টাকা

              ১টি      “           ”         $\frac{৩০}{১২}$  "

               ২টি        “        ”       $\frac{{}^{৫}\cancel{৩০}\times \cancel{২}}{{\cancel{১২}}_{\cancel{২}}}=৫$ টাকা

এক্ষেত্রে সমান সংখ্যক কলার ক্রয়মূল্য এবং বিক্রয়মূল্য সমান।

তাই লাভ বা ক্ষতি কিছুই হবে না।

আমরা জানি, I =  Prn

                         $$\begin{gathered} =২০০০\times \frac{১০.৫০}{১০০}\times ৫ \\ ={}^{\cancel{২০}}\cancel{২০০০}\times \frac{১০৫০}{\cancel{১০০}\times \cancel{১০০}}\times \cancel{৫=} ১০৫০ \end{gathered}$$

                                                                                         = ১০৫০

নির্ণেয় মুনাফা ১০৫০ টাকা।'

মুনাফার হার কমে = (১০ – ৮) টাকা = ২ টাকা

অর্থাৎ ১০০ টাকায় ১ বছরের মুনাফা কমে ২ টাকা

             ১         “       ১     ”            "         $\frac{২}{১০০}$ "   

            ৩০০০      “         ৩      ”        "     $\frac{২\times {\displaystyle \stackrel{৩০}{\cancel{৩০০০}}}\times ৩}{\cancel{১০০}}=১৮০$টাকা ।  

∴ মুনাফা কম হবে ১৮০ টাকা।            

আমরা জানি, I= Prn  

             বা,   r=$\frac{1}{Pn}$

               $\frac{৫৮৫০}{১৩০০০\times ৫}=\frac{৯}{১০০}=৯\%$

মুনাফার হার ৯%।

মনে করি, আসল = ১০০ টাকা

প্রশ্নমতে, ৮ বছর পর মুনাফা-আসল = $\left(১০০\times ২\right)=২০০$ টাকা

                 ৮ বছরে মুনাফা = (২০০ – ১০০) টাকা = ১০০ টাকা

এখানে, আসল, P = ১০০ টাকা;

মুনাফা, 1 = ১০০ টাকা

সময়, n = ৮ বছর; মুনাফার হার r, =?

আমরা জানি, I = Pnr

বা, ১০০ = ১০০ $\times$ ৮ $\times$ r

বা, $r=\frac{১০০}{১০০\times ৮}=\frac{১০০}{৮}\times \frac{১}{১০০}=\frac{২৫}{২}\times \frac{১}{১০০}=১২\frac{১}{২}\%=১২.৫\%$

নির্ণেয় মুনাফা ১২.৫%।

১ম ক্ষেত্রে, আসল, P = ৬৫০০ টাকা

সময়, n = 8 বছর;

মুনাফা-আসল , A = ৮৮৪০ টাকা

মুনাফা , I =A-P=(৮৮৪০- ৬৫০০)= ২৩৪০ টাকা

মুনাফার হার, r = ?

আমরা জানি, I = Pnr

বা , ২৩৪০=$৬৫০০\times ৪\times r$

বা, $r= \frac{{\displaystyle \stackrel{\stackrel{৯}{\cancel{৩৬}}}{\cancel{২৩৪০}}}}{{\displaystyle \underset{১০০}{\cancel{৬৫০০}}}\times \cancel{৪}}=\frac{৯}{১০০}=৯\times \frac{১}{১০০}=৯\%$

২য় ক্ষেত্রে, মুনাফা-আসল, A = ১০২০০ টাকা

সময়, n = 8 বছর

মুনাফার হার ,r= ৯% =$\frac{৯}{১০০}$

এবং আসল, P = ?

আমরা জানি, A = P + I = P + Pnr = P(১+nr)

বা, ১০২০০=P$\left(১+৪\times \frac{৯}{১০০}\right)$

বা, $১০২০০=P\left(১+\frac{৯}{২৫}\right)=P\times \frac{২৫+৯}{২৫}$

বা, $$\begin{gathered} ৩৪\times P= ১০২০০\times ২৫ \\ P=\frac{{\displaystyle \stackrel{৩০০}{\cancel{১০২০০}}}\times ২৫}{\cancel{৩৪}}=৭৫০০ \end{gathered}$$                    

নির্ণেয় আসল ৭৫০০ টাকা।

আমরা জানি, I = Pnr

বা, $৪৭৬০=P\times ৪\times \frac{৮.৫০}{১০০}$

বা, $৪৭৬০=\frac{P\times ৪\times ৮.৫০}{১০০}$

বা, $P\times ৪\times ৮.৫০=৪৭৬০\times ১০০$

$বা, P=\frac{৪৭৬০\times ১০০}{৪\times ৮.৫০}=\frac{৪৭৬০\times ১০০\times ১০০}{৪\times ৮৫০}=১৪০০০$

∴ ব্যাংকে জমার পরিমাণ ১৪০০০ টাকা।

১ম ক্ষেত্রে

মনে করি, মূলধন P = ১০০ টাকা; সময় n= ৬ বছর

৬ বছরের মুনাফা মূলধন, A = $\left(১০০\times ২\right)=২০০$ টাকা

৬ বছরের মুনাফা, I = $\left(২০০-১০০\right)=১০০$ টাকা

আমরা জানি, I = Pnr

বা, $১০০=১০০\times ৬\times r$

বা, r= $\frac{১০০}{১০০\times ৬}=\frac{১০০}{৬}\times \frac{১}{১০০}=\frac{৫০}{৩}\%$

২য় ক্ষেত্রে, মুনাফার হার ,r =  $\frac{৫০}{৩}\%= \frac{৫০}{৩}\times \frac{১}{১০০}=\frac{১}{৬}$

সময়, n = 8 বছর

মুনাফা-মূলধন, A = ২০৫০ টাকা

মূলধন, P = ?

আমরা জানি, A = P + I = P + Pnr = P(S + nr)

বা, ২০৫০=P$\left(১+৪\times \frac{১}{৬}\right)=P \left(১+\frac{২}{৩}\right)$

বা, ২০৫০= $P\times \frac{৩+২}{৩}$

বা, $P\times ৫=২০৫০\times ৩$

বা, $P=\frac{২০৫০\times ৩}{৫}=১২৩০$ টাকা

নির্ণেয় মূলধন ১২৩০ টাকা।

মুনাফার হার,r = ৬% =$\frac{৬}{১০০}$  ,সময়, n = ৪ বছর

আসল, P = ৫০০ টাকা; মুনাফা, I = কত?

বা, $I=৫০০\times ৪\times \frac{৬}{১০০}=১২০$ টাকা

২য় ক্ষেত্রে, মুনাফার হার ,r =৫% $=\frac{৫}{১০০}$

সময়, n = ২ বছর ৬ মাস

               = $\left(২+\frac{৬}{১২}\right)=\left(২+\frac{১}{২}\right)বছর = ২.৫ বছর$

মুনাফা, I = ১২০ টাকা; আসল, P = কত?

আমরা জানি, I = Pnr

বা, ১২০= $P\times ২.৫\times \frac{৫}{১০০}$

বা, $১২০\times ১০০=P\times ২.৫\times ৫$

বা, $P\times ২.৫\times ৫=১২০০০$

বা, $P=\frac{১২০০০}{২.৫\times ৫}=\frac{১২০০০\times ১০}{২৫\times ৫}=৯৬০$ টাকা

∴ আসল ৯৬০ টাকা।

মুনাফার হার বাড়ে = ১০% - ৮% = ২%

অর্থাৎ ১০০ টাকায় ১ বছরে আয় বাড়ে ২ টাকা

   ∴          ১০০     “         ৪      ”        "     $\left(২\times ৪\right)=৮ টাকা$    

       ৮ টাকা আয় বাড়লে তার মূলধন ১০০ টাকা

        ১         “            ”               "                $\frac{১০০}{৮}$   টাকা

     ১২৮        “              ”                "           $\frac{১০০\times {\displaystyle \stackrel{১৬}{\cancel{১২৮}}}}{\cancel{{৮}_{১}}}=১৬০০$ টাকা

∴ মূলধন ১৬০০ টাকা।  

আসল = ৩ বছরের মুনাফা-আসল – ৩ বছরের মুনাফা

             =( (১৫৭৮ – ৩৭৮) = ১২০০ টাকা

১২০০ টাকায় ৩ বছরের মুনাফা ৩৭৮ টাকা

   ১            “         ১        ”         "      $\frac{৩৭৮}{১২০০\times ৩}$

১০০            “          ১     ”             '"            $\frac{{\displaystyle \stackrel{\stackrel{২১}{\cancel{৬৩}}}{\cancel{৩৭৮}}}\times \cancel{১০০}}{{\displaystyle \underset{\underset{২}{\cancel{১২}}}{\cancel{১২০০}}}\times \cancel{৩}}=\frac{২১}{২} টাকা$   

                                                                                              = ১০.৫০ টাকা

মুনাফার হার ১০.৫%।

নির্ণেয় আসল ১২০০ টাকা এবং মুনাফার হার ১০.৫%

১ম ক্ষেত্রে,

আমরা জানি, I = Pnr

বা, I= $$\begin{gathered} ৩০০০\times ১\times \frac{১০}{১০০} \\ I=৩০০ টাকা \end{gathered}$$

২য় ক্ষেত্রে,

আমরা জানি, I = Pnr

                    $=২০০০\times ১\times \frac{৮}{১০০}$

                        =১৬০  টাকা  

মোট আসল = (৩০০০ + ২০০০) টাকা = ৫০০০ টাকা

মোট মুনাফা = (৩০০ + ১৬০) টাকা = ৪৬০ টাকা

৩য় ক্ষেত্রে,

আমরা জানি, I = Pnr

বা , $৪৬০=৫০০০\times ১\times r$

বা, $r=\frac{{\displaystyle \stackrel{২৩}{\cancel{৪৬০}}}}{{\displaystyle \underset{২৫০}{\cancel{৫০০০}}}}=\frac{২৩}{২৫০}$

বা, $r=\frac{২৩}{৫০}\times \frac{১০০}{২০০}=\frac{৪৬}{৫০}\times \frac{১}{১০০}=৯.২\times \frac{১}{১০০}=৯.২\%$

∴ গড় মুনাফার হার ৯.২%।

৩ বছরের জন্য,

মুনাফা, I = Pnr

               $$\begin{gathered} = ১০০০\times ৩\times r \\ =৩০০০r \end{gathered}$$  

আবার, ৪ বছরের জন্য,

                                     মুনাফা, I = Pnr

                                         $=১৫০০০\times ৪\times r =৬০০০০r টাকা$

                                     ৩ বছরের মুনাফা + ৪ বছরের মুনাফা = মোট মুনাফা

                                       বা, ৩০০০০০ + ৬০০০০r = ৯৯০০   

                                        বা, ৯০০০০০ = ৯৯০০

                                         r =  $\frac{{\displaystyle \stackrel{১১}{\cancel{৯৯০০}}}}{{\displaystyle \underset{১০০}{\cancel{৯৯০০০}}}}=\frac{১১}{১০০}=১১\%$

                           ∴    মুনাফার হার ১১%

মনে করি, আসল = ১০০ টাকা

প্রথম ক্ষেত্রে,

             ৬ বছরে মুনাফা-আসল (১০০ × ২) টাকা = ২০০ টাকা

         ∴     ৬ বছরে মুনাফা = (২০০ – ১০০) টাকা = ১০০ টাকা

               দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, মুনাফা-আসল (১০০ x ৩) টাকা = ৩০০ টাকা

         ∴   মুনাফা = (৩০০ – ১০০) টাকা ২০০ টাকা

   ১০০ টাকা মুনাফা হয় ৬ বছরে

      ১         “       ”         $\frac{৬}{১০০}$

    ২০০       “      ”          $\frac{৬\times ২০০}{১০০}$= ১২ বছরে

                     ∴   সময় ১২ বছর।

আসল + মুনাফা = মুনাফা-আসল

বা, আসল + আসলের $\frac{২}{৫}$ অংশ = ৫৬০০

বা , $\left(১+\frac{২}{৫}\right)\times আসল = ৫৬০০$

বা, আসল = $\frac{৫৬০০\times ৫}{৭}$ টাকা

                  = ৪০০০ টাকা

মুনাফা = মুনাফা-আসল -আসল

             = (৫৬০০-৪০০০)

              =১৬০০ টাকা

আবার, আমরা জানি, 1 = Prn

বা, n =$\frac{I}{Pr}$

বা, n = $\frac{১৬০০}{৪০০০\times ০.০৮}$= ৫

∴ নির্ণেয় সময় ৫ বছর।

জামিল সাহেবের আসল বা পেনশনের পরিমাণ  ১০,০০,০০০ টাকা

আসল, P = ১০,০০,০০০ টাকা

মুনাফার হার, r  = ১২% =$\frac{১২}{১০০}$

যেহেতু তিনি তিন মাস পর মুনাফা পাবেন।

সেহেতু সময় , n= $\frac{৩}{১২}=\frac{১}{৪}বছর$

মুনাফা, I = ?  

আমরা জানি ,

$$\begin{gathered} I=Pnr=১০০০০০০\times \frac{১}{৪}\times \frac{১২}{১০০} \\ =৩০,০০০ টাকা \end{gathered}$$

প্রথম ৩ মাস পর ৩০০০০ টাকা মুনাফা পাবেন।