Academy
সপ্তম শ্রেণি
গণিত
গাণিতিক সমস্যার…

গাণিতিক সমস্যার সমাধান
(গাণিতিক সমস্যা)

Created: 1 year ago | Updated: 1 year ago

Updated: 1 year ago

324

△

ABC-এ AB = AC এবং O, ABC এর অভ্যন্তরে এমন একটি বিন্দু যেন OB = OC হয়। প্রমাণ কর যে, ∠AOB = ∠AOC,

উত্তরঃ

দেওয়া আছে, △ ABC-এ, AB = AC এবং O, A ABC এর অভ্যন্তরে অবস্থিত এমন একটি বিন্দু যেন OB = OC ।

প্রমাণ প্রমাণ করতে হবে যে, ∠AOB = ∠AOC I

অঙ্কন: O, A যোগ করি।

ধাপ	যথার্থতা
ABO ও A ACO এ, (১) AB = AC (২) OB = OC (৩) OA = OA $∴$ Δ ΑΒΟ $≅$ ΔАСО $∴ ∠$ AOB= $∠$ AOC. (প্রমাণিত)	[দেওয়া আছে] [দেওয়া আছে] [সাধারণ বাহু] [বাহু-বাহু-বাহু উপপাদ্য]

Rakibul Islam

1 year ago

(২)

∆ ABC এর AB ও AC বাহুতে যথাক্রমে D ও E এমন দুইটি বিন্দু যেন BD = CE এবং BE = CD। প্রমাণ কর যে, ∠ABC = ∠ACB.

উত্তরঃ

সমাধান: দেওয়া আছে, △ ABC-এ AB ও AC বাহুতে যথাক্রমে D ও E এমন দুইটি বিন্দু যেন BD = CE এবং BE = CD। প্রমাণ করতে হবে যে, ∠ABC = ∠ACB |

প্রমাণঃ

ধাপ

যথার্থতা

(১) $△$ BCD ও $△$ BCE এ,

BD = CE; CD = BE এবং BC = BC
$△$ BCD $≅ △$ ВСЕ
$∠$ DBC=∠BCE

অতএব, ∠ABC = ∠ACB. (প্রমাণিত)

[দেওয়া আছে]

[সাধারণ বাহু]

[বাহু-বাহু-বাহু উপপাদ্য]

Rakibul Islam

1 year ago

(৩)

চিত্রে, AB = AC, BD = DC এবং BE = CF। প্রমাণ কর যে, ∠EDB = ∠FDC.

উত্তরঃ

দেওয়া আছে, ∆ABC-এ AB = AC, BD = DC এবং BE = CF। প্রমাণ করতে হবে যে, ∠EDB = ∠FDC.

প্রমানঃ

ধাপ

যথার্থতা

(১)

△

ABC এ AB = AC

∠

ACB = ∠ABC
বা, ∠FCD = ∠EBD
(২) △ BDE এবং △ CDF-এ, BD = CD
BE = CF
এবং অন্তর্ভুক্ত ∠EBD = অন্তর্ভুক্ত ∠FCD .
BDE

≅

CDF
অতএব, ∠EDB = ∠FDC. (প্রমাণিত)

[দেওয়া আছে]
[ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর বিপরীত কোণদ্বয় সমান।
[দেওয়া আছে]
[দেওয়া আছে]

[(১) হতে]
[বাহু-কোণ-বাহু উপপাদ্য]

Rakibul Islam

1 year ago

(৪)

চিত্রে, AB = AC এবং ∠BAD = ∠CAE I প্রমাণ কর যে, AD = AE.

উত্তরঃ

সমাধান: দেওয়া আছে, △ ABC-এ
AB = AC এবং ∠BAD = ∠CAE |

প্রমাণ করতে হবে যে, AD = AE.

ধাপ

যথার্থতা

(১) $△$ ABC এ,
AB = AC |
$∴ ∠$ ACB = ∠ABC
বা, ∠ACE = ∠ABD

(২) এখন △ ABD ও △ ACE এর মধ্যে AB = AC $∠$ ABD = $∠$ ACE এবং ∠BAD = ∠CAE .. ΔΑΒΟ $≅$ ΔАСЕ .:. AD = AE. (প্রমাণিত)

[দেওয়া আছে)
[সমান সমান বাহুর বিপরীত
কোণ সমান।
[দেওয়া আছে]
[কোণ-বাহু-কোণ উপপাদ্য]

Rakibul Islam

1 year ago

(৫)

ABCD চতুর্ভুজে AC, ∠BAD এবং ∠BCD এর সমদ্বিখন্ডক। প্রমাণ কর যে, ∠B = ∠D.

উত্তরঃ

সমাধান: দেওয়া আছে, ABCD
চতুর্ভুজে AC, ∠BAD এবং ∠BCD এর সমদ্বিখণ্ডক। প্রমাণ করতে হবে যে, ∠B = ∠D.

প্রমাণঃ

ধাপ	যথার্থতা
$△$ ABC ও $△$ ADC এ, (১) ∠BAC=∠CAD (২) ∠ACB = ∠ACD (৩) AC = AC $∴ △$ ABC $≅ △$ ADC .:. ∠B = ∠D. (প্রমাণিত)	[AC, ∠BAD এর সমদ্বিখণ্ডক] [AC, ∠BCD এর সমদ্বিখণ্ডক] [সাধারণ বাহু] [কোণ-বাহু-কোণ উপপাদ্য]

Rakibul Islam

1 year ago

(৬)

চিত্রে, AB এবং CD. পরস্পর সমান ও সমান্তারাল এবং AC ও BD কর্ণ দুইটি ০ বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ কর যে, AD = BC |

উত্তরঃ

সমাধান: দেওয়া আছে,

ABCD চতুর্ভুজের AB ও CD পরস্পর সমান ও সমান্তরাল এবং AC ও BD কর্ণ দুইটি ০ বিন্দুতে ছেদ করেছে।

প্রমাণ করতে হবে যে, AD = BC

প্রমাণঃ

ধাপ	যথার্থতা
△ADC & △ABC-এ (১) CD = AB, (২) AC = AC (৩) ∠ACD = ∠BAC ∴ ΔΑΒC ≅ △ADC .:. AD = BC. (প্রমাণিত)	[কল্পনা] [ত্রিভুজের সাধারণ বাহু। [AB \|\| CD, AC ছেদক] [বাহু-কোণ-বাহু উপপাদ্য]

Rakibul Islam

1 year ago

(৭)

প্রমাণ কর যে, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমির প্রান্তবিন্দুদ্বয় থেকে বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত লম্বদ্বয় পরস্পর সমান।

উত্তরঃ

সমাধান: মনে করি, ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে AB = AC। BC ভূমির B ও C বিন্দু হতে BE ও CF যথাক্রমে AC ও AB বাহুর উপর দুইটি লম্ব।

প্রমাণ করতে হবে যে, CF = BE

প্রমাণঃ

ধাপ

যথার্থতা

(১) ∆ABC-এ
AB = AC I
∠ACB = ∠ABC
অর্থাৎ ∠BCE = ∠CBF

(২) এখন ∆BFC ও ∆ BEC-এ ∠BFC=∠BЕС ∠CBF = ∠BCE BC = BC .. ∆ BFC ≅ ∆ВЕС

∴ CF = BE. (প্রমাণিত)

[কল্পনা]
ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর বিপরীত কোণ সমান)
[প্রত্যেক এক সমকোণ।।
[(১) হতে]
[সাধারণ বাহু]
[কোণ-বাহু-কোণ উপপাদ্য]

Rakibul Islam

1 year ago

(৮)

প্রমাণ কর যে, কোনো ত্রিভুজের ভূমির প্রান্ত বিন্দুদ্বয় থেকে বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত লম্বদ্বয় যদি সমান হয়, তবে ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু।

উত্তরঃ

সমাধান: মনে করি, △ ABC-এ ভূমি
BC এর প্রান্ত বিন্দুদ্বয় থেকে BE ও CF যথাক্রমে AC ও AB এর উপর লম্ব এবং BE = CF
প্রমাণ করতে হবে যে,

△ ABC সমদ্বিবাহু অর্থাৎ AB = AC

প্রমাণঃ

ধাপ

যথার্থতা

(১) সমকোণী △ BCE ও A BCF-এ BE = CF BC = BC ∠BEC=∠BFC ∴△ BCE ≅ BCF

∴ ∠BCE = ∠CBF

∠ACB = ∠ABC
(২) এখন, ∆ABC এ, ∠ACB = ∠ABC

∴ AB = AC

∴ ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
(প্রমাণিত)

[দেওয়া আছে]
[সাধারণ বাহু]
[প্রত্যেকে এক সমকোণ।]
[বাহু-কোণ-বাহু উপপাদ্য]
[ত্রিভুজের সমান সমান কোণের বিপরীত বাহু সমান]

Rakibul Islam

1 year ago

(৯)

ABCD চতুর্ভুজের AB = AD এবং ∠B = ∠D = এক সমকোণ। প্রমাণ কর যে, ΔΑВС

≅

△

ADC.

উত্তরঃ

সমাধান: দেওয়া আছে, ABCD চতুর্ভুজের AB = AD এবং ∠B = ∠D = এক সমকোণ।

প্রমাণ করতে হবে যে, ∆ ABC≅ ∆ ADC
অঙ্কন: A, C, যোগ করি।

প্রমাণ

ধাপ	যথার্থতা
ABC ও ADC সমকোণী ত্রিভুজদ্বয়ের মধ্যে (১) ∠B = ∠D (২) AB = AD (৩) অতিভুজ AC = অতিভুজ AC ∴∆ABC ≅ ∆ADC. (প্রমাণিত)	[দেওয়া আছে] [দেওয়া আছে] [সাধারণ বাহু) [অতিভুজ-বাহু উপপাদ্য]

Rakibul Islam

1 year ago

324

MCQ: 74 CQ: 102

Practice

সর্বসমতা ও সদৃশতা

[এই অধ্যায়ের প্রয়োজনীয় পূর্বজ্ঞান বইয়ের শেষে পরিশিষ্ট অংশে সংযুক্ত আছে। প্রথমে পরিশিষ্ট অংশ পাঠ/আলোচনা করতে হবে।]

আমাদের চারদিকে বিভিন্ন আকৃতি ও আকারের বস্তু দেখতে পাই। এদের কিছু হুবহু সমান, আবার কিছু দেখতে একই রকম, কিন্তু সমান নয়। তোমাদের শ্রেণির শিক্ষার্থীদের প্রত্যেকের গণিত পাঠ্যপুস্তুকটি আকৃতি, আকার ও ওজনে একই, সেগুলো সবদিক দিয়ে সমান বা সর্বসম। আবার একটি গাছের পাতাগুলোর আকৃতি একই হলেও আকারে ভিন্ন, পাতাগুলো দেখতে এক রকম বা সদৃশ। ফটোগ্রাফির দোকানে যখন আমরা মূলকপির অতিরিক্ত কপি চাই তা মূলকপির হুবহু সমান, বড়ো বা ছোটো করে চাইতে পারি। কপিটি যদি মূলকপির সমান হয় সেক্ষেত্রে কপি দুটি সর্বসম। কপিটি যদি মূলকপির চেয়ে বড়ো বা ছোটো হয় সেক্ষেত্রে কপি দুটি সদৃশ। এই অধ্যায়ে আমরা অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ এই দুই জ্যামিতিক ধারণা নিয়ে আলোচনা করব। আমরা আপাতত সমতলীয় ক্ষেত্রের সর্বসমতা ও সদৃশতা বিবেচনা করব।

অধ্যায় শেষে শিক্ষার্থীরা -

বিভিন্ন জ্যামিতিক আকার ও আকৃতি হতে সর্বসম এবং সদৃশ আকার ও আকৃতি চিহ্নিত করতে পারবে।
সর্বসমতা ও সদৃশতার মধ্যে পার্থক্য করতে পারবে।
ত্রিভুজের সর্বসমতা প্রমাণ করতে পারবে।
ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের সদৃশতা ব্যাখ্যা করতে পারবে।
সর্বসমতা ও সদৃশতার বৈশিষ্ট্যের ভিত্তিতে সহজ সমস্যার সমাধান করতে পারবে।

Related Question

View All

(1)

সর্বসমতা কী এবং দুইটি রেখাংশ কখন সর্বসম হবে? (সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন)

সপ্তম শ্রেণি গণিত সর্বসমতা ও সদৃশতা

347

উত্তরঃ

সমাধান: সর্বসমতা: দুটি বস্তু বা জ্যামিতিক ক্ষেত্র যদি সবদিক বিবেচনায় সমান প্রতীয়মান হয় তবে তাদের সর্বসম বলে। দুটি রেখাংশের দৈর্ঘ্য সমান হলে রেখাংশ দুটি সর্বসম হবে।

Rakibul Islam

1 year ago

347

(2)

দুইটি কোণ কখন সর্বসম হবে এবং এদের পরিমাপ সমান হবে? (সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন)

সপ্তম শ্রেণি গণিত সর্বসমতা ও সদৃশতা

252

উত্তরঃ

সমাধান: দুইটি কোণের পরিমাপ সমান হলে কোণ দুইটি সর্বসম হবে। আবার, কোণ দুইটি সর্বসম হলে এদের পরিমাপও সমান হবে।

Rakibul Islam

1 year ago

252

(3)

ত্রিভুজের সর্বসমতা বলতে কী বোঝ? (সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন)

সপ্তম শ্রেণি গণিত সর্বসমতা ও সদৃশতা

647

উত্তরঃ

সমাধান: একটি ত্রিভুজকে অপর একটি ত্রিভুজের উপর স্থাপন করলে যদি ত্রিভুজ দুইটি সর্বতোভাবে মিলে যায়, তবে ত্রিভুজ দুইটি সর্বসম হয়। সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু ও অনুরূপ কোণগুলো সমান।

Rakibul Islam

1 year ago