দেওয়া আছে, △ ABC-এ, AB = AC এবং O, A ABC এর অভ্যন্তরে অবস্থিত এমন একটি বিন্দু যেন OB = OC ।
প্রমাণ প্রমাণ করতে হবে যে, ∠AOB = ∠AOC I
অঙ্কন: O, A যোগ করি।
| ধাপ | যথার্থতা |
| ABO ও A ACO এ, (১) AB = AC (২) OB = OC (৩) OA = OA Δ ΑΒΟ ΔАСО AOB= AOC. (প্রমাণিত) | [দেওয়া আছে] [দেওয়া আছে] [সাধারণ বাহু] [বাহু-বাহু-বাহু উপপাদ্য] |
সমাধান: দেওয়া আছে, △ ABC-এ AB ও AC বাহুতে যথাক্রমে D ও E এমন দুইটি বিন্দু যেন BD = CE এবং BE = CD। প্রমাণ করতে হবে যে, ∠ABC = ∠ACB |
প্রমাণঃ
| ধাপ | যথার্থতা |
(১) BCD ও BCE এ, BD = CE; CD = BE এবং BC = BC | [দেওয়া আছে]
|
দেওয়া আছে, ∆ABC-এ AB = AC, BD = DC এবং BE = CF। প্রমাণ করতে হবে যে, ∠EDB = ∠FDC.
প্রমানঃ
| ধাপ | যথার্থতা |
| (১) ABC এ AB = AC ACB = ∠ABC বা, ∠FCD = ∠EBD (২) △ BDE এবং △ CDF-এ, BD = CD BE = CF এবং অন্তর্ভুক্ত ∠EBD = অন্তর্ভুক্ত ∠FCD . BDECDF অতএব, ∠EDB = ∠FDC. (প্রমাণিত) | [দেওয়া আছে]
|
সমাধান: দেওয়া আছে, △ ABC-এ
AB = AC এবং ∠BAD = ∠CAE |
প্রমাণ করতে হবে যে, AD = AE.
| ধাপ | যথার্থতা |
(১) ABC এ, (২) এখন △ ABD ও △ ACE এর মধ্যে AB = AC ABD =ACE এবং ∠BAD = ∠CAE .. ΔΑΒΟ ΔАСЕ .:. AD = AE. (প্রমাণিত) | [দেওয়া আছে) [সমান সমান বাহুর বিপরীত কোণ সমান। [দেওয়া আছে] [কোণ-বাহু-কোণ উপপাদ্য] |
সমাধান: দেওয়া আছে, ABCD
চতুর্ভুজে AC, ∠BAD এবং ∠BCD এর সমদ্বিখণ্ডক। প্রমাণ করতে হবে যে, ∠B = ∠D.
প্রমাণঃ
| ধাপ | যথার্থতা |
| ABC ও ADC এ, (১) ∠BAC=∠CAD (২) ∠ACB = ∠ACD (৩) AC = AC ABC ADC .:. ∠B = ∠D. (প্রমাণিত) | [AC, ∠BAD এর সমদ্বিখণ্ডক] [AC, ∠BCD এর সমদ্বিখণ্ডক] [সাধারণ বাহু] [কোণ-বাহু-কোণ উপপাদ্য] |
সমাধান: দেওয়া আছে,
ABCD চতুর্ভুজের AB ও CD পরস্পর সমান ও সমান্তরাল এবং AC ও BD কর্ণ দুইটি ০ বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যে, AD = BC
প্রমাণঃ
| ধাপ | যথার্থতা |
| △ADC & △ABC-এ (১) CD = AB, (২) AC = AC (৩) ∠ACD = ∠BAC ∴ ΔΑΒC ≅ △ADC .:. AD = BC. (প্রমাণিত) | [কল্পনা] [ত্রিভুজের সাধারণ বাহু। [AB || CD, AC ছেদক] [বাহু-কোণ-বাহু উপপাদ্য] |
সমাধান: মনে করি, ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে AB = AC। BC ভূমির B ও C বিন্দু হতে BE ও CF যথাক্রমে AC ও AB বাহুর উপর দুইটি লম্ব।
প্রমাণ করতে হবে যে, CF = BE
প্রমাণঃ
| ধাপ | যথার্থতা |
(১) ∆ABC-এ (২) এখন ∆BFC ও ∆ BEC-এ ∠BFC=∠BЕС ∠CBF = ∠BCE BC = BC .. ∆ BFC ≅ ∆ВЕС ∴ CF = BE. (প্রমাণিত) | [কল্পনা] ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর বিপরীত কোণ সমান) [প্রত্যেক এক সমকোণ।। [(১) হতে] [সাধারণ বাহু] [কোণ-বাহু-কোণ উপপাদ্য] |
সমাধান: মনে করি, △ ABC-এ ভূমি
BC এর প্রান্ত বিন্দুদ্বয় থেকে BE ও CF যথাক্রমে AC ও AB এর উপর লম্ব এবং BE = CF
প্রমাণ করতে হবে যে,
△ ABC সমদ্বিবাহু অর্থাৎ AB = AC
প্রমাণঃ
| ধাপ | যথার্থতা |
(১) সমকোণী △ BCE ও A BCF-এ BE = CF BC = BC ∠BEC=∠BFC ∴△ BCE ≅ BCF ∴ ∠BCE = ∠CBF ∠ACB = ∠ABC ∴ AB = AC ∴ ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। | [দেওয়া আছে] [সাধারণ বাহু] [প্রত্যেকে এক সমকোণ।] [বাহু-কোণ-বাহু উপপাদ্য] [ত্রিভুজের সমান সমান কোণের বিপরীত বাহু সমান] |
সমাধান: দেওয়া আছে, ABCD চতুর্ভুজের AB = AD এবং ∠B = ∠D = এক সমকোণ।
প্রমাণ করতে হবে যে, ∆ ABC≅ ∆ ADC
অঙ্কন: A, C, যোগ করি।
প্রমাণ
| ধাপ | যথার্থতা |
| ABC ও ADC সমকোণী ত্রিভুজদ্বয়ের মধ্যে (১) ∠B = ∠D (২) AB = AD (৩) অতিভুজ AC = অতিভুজ AC ∴∆ABC ≅ ∆ADC. (প্রমাণিত) | [দেওয়া আছে] [দেওয়া আছে] [সাধারণ বাহু) [অতিভুজ-বাহু উপপাদ্য] |
[এই অধ্যায়ের প্রয়োজনীয় পূর্বজ্ঞান বইয়ের শেষে পরিশিষ্ট অংশে সংযুক্ত আছে। প্রথমে পরিশিষ্ট অংশ পাঠ/আলোচনা করতে হবে।]
আমাদের চারদিকে বিভিন্ন আকৃতি ও আকারের বস্তু দেখতে পাই। এদের কিছু হুবহু সমান, আবার কিছু দেখতে একই রকম, কিন্তু সমান নয়। তোমাদের শ্রেণির শিক্ষার্থীদের প্রত্যেকের গণিত পাঠ্যপুস্তুকটি আকৃতি, আকার ও ওজনে একই, সেগুলো সবদিক দিয়ে সমান বা সর্বসম। আবার একটি গাছের পাতাগুলোর আকৃতি একই হলেও আকারে ভিন্ন, পাতাগুলো দেখতে এক রকম বা সদৃশ। ফটোগ্রাফির দোকানে যখন আমরা মূলকপির অতিরিক্ত কপি চাই তা মূলকপির হুবহু সমান, বড়ো বা ছোটো করে চাইতে পারি। কপিটি যদি মূলকপির সমান হয় সেক্ষেত্রে কপি দুটি সর্বসম। কপিটি যদি মূলকপির চেয়ে বড়ো বা ছোটো হয় সেক্ষেত্রে কপি দুটি সদৃশ। এই অধ্যায়ে আমরা অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ এই দুই জ্যামিতিক ধারণা নিয়ে আলোচনা করব। আমরা আপাতত সমতলীয় ক্ষেত্রের সর্বসমতা ও সদৃশতা বিবেচনা করব।
অধ্যায় শেষে শিক্ষার্থীরা -
- বিভিন্ন জ্যামিতিক আকার ও আকৃতি হতে সর্বসম এবং সদৃশ আকার ও আকৃতি চিহ্নিত করতে পারবে।
- সর্বসমতা ও সদৃশতার মধ্যে পার্থক্য করতে পারবে।
- ত্রিভুজের সর্বসমতা প্রমাণ করতে পারবে।
- ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের সদৃশতা ব্যাখ্যা করতে পারবে।
- সর্বসমতা ও সদৃশতার বৈশিষ্ট্যের ভিত্তিতে সহজ সমস্যার সমাধান করতে পারবে।
Related Question
View Allসমাধান: সর্বসমতা: দুটি বস্তু বা জ্যামিতিক ক্ষেত্র যদি সবদিক বিবেচনায় সমান প্রতীয়মান হয় তবে তাদের সর্বসম বলে। দুটি রেখাংশের দৈর্ঘ্য সমান হলে রেখাংশ দুটি সর্বসম হবে।
সমাধান: দুইটি কোণের পরিমাপ সমান হলে কোণ দুইটি সর্বসম হবে। আবার, কোণ দুইটি সর্বসম হলে এদের পরিমাপও সমান হবে।
সমাধান: একটি ত্রিভুজকে অপর একটি ত্রিভুজের উপর স্থাপন করলে যদি ত্রিভুজ দুইটি সর্বতোভাবে মিলে যায়, তবে ত্রিভুজ দুইটি সর্বসম হয়। সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু ও অনুরূপ কোণগুলো সমান।
সমাধান: দুইটি ত্রিভুজ সর্বসম হওয়ার শর্তসমূহ:
১. ত্রিভুজদ্বয়ের অনুরূপ বাহুগুলো সমান হতে হবে।
২ ত্রিভুজদ্বয়ের অনুরূপ কোণগুলো সমান হতে হবে।
৩. ত্রিভুজদ্বয়ের যেকোনো দুইটি বাহু এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণ সমান হতে হবে।'
= মনে করি, ABC ত্রিভুজে AB = AC। দেখাতে হবে যে, ABC =ACB ।
অঙ্কন: ∠BAC এর সমদ্বিখণ্ডক AD আঁকি যেন তা BC কে D বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ: △ ABD এবং ACD-এ,
(১) AB = AC (প্রদত্ত)
(২) AD সাধারণ বাহু এবং
(৩) অন্তর্ভুক্ত ∠BAD = অন্তর্ভুক্ত ∠CAD (অঙ্কনানুসারে)
সুতরাং,
△ ABD ACD
(বাহু-কোণ-বাহু উপপাদ্য)
ABD= ACD
অর্থাৎ, ∠ABC = ∠ACB. (দেখানো হলো)
চিত্রে △ ABC এবং DEF এ AB = DE, AC = DF এবং অন্তর্ভুক্ত ∠BAC = অন্তর্ভুক্ত ∠EDF।
১ ক্লিকে প্রশ্ন, শীট, সাজেশন ও
অনলাইন পরীক্ষা তৈরির সফটওয়্যার!
শুধু প্রশ্ন সিলেক্ট করুন — প্রশ্নপত্র অটোমেটিক তৈরি!
Related Question
Complete Exam
Preparation
Learn, practice, analyse and improve
