গাণিতিক সমস্যার সমাধান

সংখ্যাভিত্তিক কোনো তথ্য বা ঘটনা হচ্ছে একটি পরিসংখ্যান। আর তথ্য বা ঘটনা নির্দেশর্ক সংখ্যাগুলো হচ্ছে পরিসংখ্যানের উপাত্ত। ধরা যাক, কোনো এক পরীক্ষায় সপ্তম শ্রেণিতে অধ্যয়নরত ৩৪ জন শিক্ষার্থীর গণিতে প্রাপ্ত নম্বর হলো:

৮০, ৬০, ৬৫, ৫৭, ৮৩, ৬০, ৬৩, ৯০, ৯৪, ৭৭, ১০০, ৯৫, ৮১, ৬১, ৮৫, ৮৫, ৯১, ৯৮, ৮৮, ৫৫, ৫৯, ৮৫, ৯০, ৯৩, ৯৮, ৬৯, ৭২, ৭০, ৭৫, ৮৭, ৬৮, ৭৫, ৬৫, ৭৪।

এখানে সংখ্যা দ্বারা নির্দেশিত নম্বরসমূহ ঐ পরীক্ষার একটি পরিসংখ্যান। সংখ্যা দ্বারা নির্দেশিত নম্বরগুলো হলো পরিসংখ্যানের উপাত্ত।

পরিসংখ্যানের উপাত্ত দুই প্রকার। যথা-

(১) প্রাথমিক উপাত্ত বা প্রত্যক্ষ উপাত্ত ও
(২) মাধ্যমিক উপাত্ত বা পরোক্ষ উপাত্ত।

প্রাথমিক উপাত্ত সংগ্রহ পদ্ধতি: প্রাথমিক উপাত্তসমূহ প্রয়োজন অনুযায়ী অনুসন্ধানকারীর দ্বারা সরাসরি উৎস থেকে সংগৃহীত হয়।

সুবিধা:

(i) সরাসরি সংগৃহীত হয় বিধায় নির্ভরযোগ্যতা অনেক বেশি।
(ii) তথ্যের গোপনীয়তা রক্ষা করা যায়।
(iii) এ পদ্ধতিতে জনবল কম লাগে।

অসুবিধা:

(i) তথ্য সংগ্রহ করা ব্যয়বহুল ও সময়সাপেক্ষ।
(ii) কোনো কোনো ক্ষেত্রে ঝুঁকিপূর্ণ হতে পারে।
(iii) ব্যক্তিগত পক্ষ পাতিত্বের সম্ভাবনা থাকে।

মাধ্যমিক উপাত্ত সংগ্রহ পদ্ধতি: মাধ্যমিক উপাত্ত অনুসন্ধানকারী নিজের প্রয়োজন অনুযায়ী সরাসরি উৎস থেকে সংগ্রহ না করে, বিভিন্ন পত্র পত্রিকা, সরকারি দলিলপত্র, কোনো প্রকাশিত রিপোর্ট বা কোনো প্রতিষ্ঠানের সংগৃহীত উপাত্ত থেকে সংগ্রহ -করে থাকে।

সুবিধা:

(i) অতি সহজে ও স্বল্প সময়ে উপাত্ত সংগ্রহ করা যায়।
(ii) প্রশিক্ষণপ্রাপ্ত কর্মীর প্রয়োজন হয় না।
(iii) ব্যয়বহুল ও ঝুঁকিপূর্ণ নয়।

অসুবিধা:

(i) সরাসরি উৎস হতে সংগৃহীত হয় না বলে এর নির্ভরযোগ্যতা কম।
(ii) অনেক সময় সঠিক ফলাফল পাওয়া যায় না।
(iii) শুধু দক্ষ ও সুযোগ্য লোক দ্বারা তথ্য সংগৃহীত হতে হয়।

অবিন্যস্ত উপাত্ত: পরিসংখ্যানে প্রদত্ত উপাত্তগুলো যদি এলোমেলোভাবে থাকে অর্থাৎ কোনো ক্রম রক্ষা না করে বিক্ষিপ্তভাবে অবস্থান করে তখন এদেরকে অবিন্যস্ত উপাত্ত বলে। যেমন, নিচে ১০ জন ছাত্রের বার্ষিক পরীক্ষায় ইংরেজি বিষয়ে প্রাপ্ত নম্বর এলোমেলোভাবে দেওয়া আছে। এগুলো অবিন্যস্ত উপাত্ত।

৫৭,৫৫, ৮০, ৫২, ৮৩, ৪০, ৯০, ৬৫, ৬৮, ৫৮।

নিচে একটি অবিন্যস্ত উপাত্ত দেওয়া হলো। এগুলো কোনো এক পরীক্ষায় সপ্তম শ্রেণিতে অধ্যয়নরত ৩৪ জন শিক্ষার্থীর গণিতে প্রাপ্ত নম্বর।

৮০, ৬০, ৬৫, ৫৭, ৮৩, ৬০, ৬৩, ৯০, ৯৪, ৭৭, ১০০, ৯৫, ৮১, ৬১, ৮৫, ৮৫, ৯১, ৯৮, ৮৮, ৫৫, ৫৯, ৮৫, ৯০, ৯৩, ৯৮, ৬৯, ৭২, ৭০,৭৫, ৮৭, ৬৮, ৭৫, ৬৫, ৭৪।

উপরে বর্ণিত নম্বরগুলো মানের অধঃক্রম অনুসারে সাজিয়ে বিন্যস্ত করা যায়। যেমন:

১০০, ৯৮, ৯৮, ৯৫, ৯৪, ৯৩, ৯১, ৯০, ৯০, ৮৮, ৮৭, ৮৫, ৮৫, ৮৫, ৮৩, ৮১, ৮০, ৭৭, ৭৫, ৭৫, ৭৪, ৭২, ৭০, ৬৯, ৬৮, ৬৫, ৬৫, ৬৩, ৬৩, ৬১, ৬০, ৫৯, ৫৭, ৫৫।

এভাবে সাজানো উপাত্তসমূহকে বিন্যস্ত উপাত্ত বলে।

এখানে প্রাপ্ত নম্বরের সর্বনিম্ন সাংখ্যিকমান ২২ এবং সর্বোচ্চ সাংখ্যিকমান ৯৯।

সুতরাং প্রদত্ত উপাত্তের পরিসর = (৯৯- ২২) + ১ = ৭৮।

শ্রেণিব্যাপ্তি ১০ ধরলে শ্রেণি সংখ্যা = $\frac{৭৮}{১০}$ = ৭.৮$\approx$৯৮

শ্রেণিসংখ্যা হবে ৮টি।

প্রদত্ত উপাত্তের গণসংখ্যা সারণি হলো:

এখানে মাসিক আয় (হাজার টাকায়) এর সর্বোচ্চ মান ১৭৮ এবং সর্বনিম্ন মান ১৩০।

প্রদত্ত উপাত্তের পরিসর = (১৭৮ – ১৩০) + ১ = ৪৮ + ১ = ৪৯

শ্রেণিব্যাপ্তি ৫ ধরে শ্রেণিসংখ্যা = $\frac{৪৯}{৫}$ = ৯.৮ $\approx$ ৯ ১০

শ্রেণিসংখ্যা ১০টি।

প্রদত্ত উপাত্তের গণসংখ্যা সারণি হলো :

এখানে পরিবারের লোকসংখ্যার সর্বোচ্চ সাংখ্যিকমান ১০ এবং সর্বনিম্ন সাংখ্যিক মান ২।

পরিসর = (১০ – ২) + ১ = ৮ + ১ = ৯

শ্রেণিসংখ্যা = $\frac{৯}{২}$ = ৪.৫ ≈ ৫টি

প্রদত্ত উপাত্তের গণসংখ্যা সারণি হলো :

এখানে, মজুরির সর্বোচ্চ সাংখ্যিকমান ৫০ এবং সর্বনিম্ন সাংখ্যিকমান ২০।

পরিসর = (৫০ – ২০) + ১ = ৩০ + ১ = ৩১

শ্রেণি ব্যবধান ৫ ধরে শ্রেণিসংখ্যা = $\frac{৩১}{৫}$ = ৬.২ $\approx$ ৭টি

প্রদত্ত উপাত্তের গণসংখ্যা সারণি হলো :

শ্রেণিব্যাপ্তিকে অবিচ্ছিন্ন শ্রেণিসীমায় পরিণত করে পাই,

প্রথমে ছক কাগজে x-অক্ষ ও y-অক্ষ আঁকা হয়েছে। x-অক্ষ বরাবর অবিচ্ছিন্ন, শ্রেণিব্যাপ্তি এবং y-অক্ষ বরাবর গণসংখ্যা ধরে আয়তলেখটি আঁকা হয়েছে। এখানে x-অক্ষ বরাবর ছক কাগজের ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতি ঘরকে ২ একক এবং y-অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতি ঘরকে ১ একক ধরা হয়েছে।

উপরের আয়তলেখ থেকে প্রতীয়মান হয় যে, গণসংখ্যার প্রাচুর্য ৩০.৫- ৪০.৫ শ্রেণিতে। সুতরাং প্রচুরক এই শ্রেণিতে বিদ্যমান। প্রচুরক নির্ধারণ করার জন্য আয়তের উপরিভাগের কৌণিক বিন্দু থেকে দুইটি আড়াআড়ি রেখাংশ আগের ও পরের আয়তের উপরিভাগের কৌণিক বিন্দুর সাথে সংযোগ করি। এদের ছেদবিন্দু থেকে সংশ্লিষ্ট ভূমির উপর লম্ব টানি। লম্ব x-অক্ষের যেখানে মিলিত হয় তা এর ব্যাপ্তি নির্ধারণ করা হয়। নির্ধারিত ব্যাপ্তি হলো প্রচুরক। চিত্র হতে দেখা যায় যে, উপাত্তের প্রচুরক ৩৫.৫।

নির্ণেয় প্রচুরক ৩৫.৫।

শ্রেণি ব্যবধান অবিচ্ছিন্ন করে সারণি তৈরি করি:

প্রথমে ছক কাগজে x-অক্ষ ও y-অক্ষ আঁকি। x-অক্ষ বরাবর শ্রেণিসীমা (ওভার) এবং y-অক্ষ বরাবর রান (গণসংখ্যা) ধরে আয়তলেখ আঁকা হলো। এখানে, x অক্ষে ছক কাগজের ক্ষুদ্রতম বর্গের তিন ঘর = ১ একক এবং y অক্ষে ছক কাগজের ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতি ঘরকে এক একক ধরি। যে ওভারে উইকেট পতন হয়েছে সেই ওভারের সংগৃহীত রানের ওপর "$\bullet$" চিহ্ন দিয়ে উইকেট পতন বোঝানো হয়েছে।

শিক্ষার্থীদের উচ্চতার সর্বনিম্ন মান = ১৪৫
এবং সর্বোচ্চ মান = ১৮০

∴ পরিসর = (১৮০ – ১৪৫) + ১
  = ৩৫ + ১
  = ৩৬

৫ শ্রেণি ব্যবধান নিয়ে শ্রেণি সংখ্যা = $\dfrac{৩৬}{৫}$
  = ৭.২ ≈ ৮

∴ শ্রেণি সংখ্যা হবে ৮টি

শিক্ষার্থীদের উচ্চতার গণসংখ্যা সারণি:

আয়তলেখ অঙ্কন: x-অক্ষ বরাবর উচ্চতা এবং y-অক্ষ বরাবর শিক্ষার্থীদের সংখ্যা ধরা হয়েছে। এখানে x-অক্ষে ছক কাগজের ক্ষুদ্রতম বর্গের এক ঘর সমান ১ ধরা হয়েছে এবং y-অক্ষে ছক কাগজের ক্ষুদ্রতম বর্গের পাঁচ ঘর সমান ১ ধরা হয়েছে।

x-অক্ষে ০ থেকে ১৪৫ পর্যন্ত আছে বোঝাতে ভাঙা চিহ্ন দেওয়া হয়েছে।

প্রচুরক নির্ণয় : এখানে চিত্রায়িত আয়তলেখ থেকে দেখা যায়, বেশি সংখ্যক শিক্ষার্থীর উচ্চতা ১৬৫ – ১৭০ এর মধ্যে। সুতরাং প্রচুরক এই শ্রেণিতে বিদ্যমান। প্রচুরক নির্ধারণ করার জন্য আয়তের উপরিভাগের কৌণিক বিন্দু থেকে দুইটি আড়াআড়ি রেখাংশ আগের ও পরের আয়তের উপরিভাগের কৌণিক বিন্দুর সাথে সংযোগ করা হয়েছে। এদের ছেদবিন্দু থেকে সংশ্লিষ্ট ভূমির উপর লম্ব টানি। লম্ব x অক্ষের যেখানে মিলিত হয় সেখানে এর ব্যাপ্তি নির্ধারণ করা হয়। নির্ধারিত ব্যাপ্তি হলো প্রচুরক। চিত্র থেকে দেখা যায় উপাত্তের প্রচুরক ১৬৬.৭ (প্রায়)। নির্ণেয় প্রচুরক ১৬৬.৭ (প্রায়)।