গুণোত্তর ধারাটি নির্ণয় কর।

উদ্দীপকে প্রদত্ত সমান্তর ধারার প্রথম পদ, \(a_{AP} = 3\) এবং সাধারণ অন্তর, \(d_{AP} = 4\) । প্রশ্নানুসারে, নতুন গুণোত্তর ধারাটির প্রথম পদ হবে উদ্দীপকের সাধারণ অন্তর অর্থাৎ, \(a = 4\) । এবং এই গুণোত্তর ধারাটির সাধারণ অনুপাত হবে উদ্দীপকের প্রথম পদ অর্থাৎ, \(r = 3\) ।

একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম \(n\) সংখ্যক পদের সমষ্টি নির্ণয়ের সূত্র হলো, যখন \(r > 1\), \(S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}\) । এই ক্ষেত্রে, প্রথম পদ \(a = 4\), সাধারণ অনুপাত \(r = 3\) এবং পদের সংখ্যা \(n = 7\) । এখন এই মানগুলো সূত্রে বসিয়ে আমরা সমষ্টি নির্ণয় করতে পারি।

সুতরাং, প্রথম 7 টি পদের সমষ্টি:

সুতরাং, গঠিত গুণোত্তর ধারাটির প্রথম 7 টি পদের সমষ্টি হলো 4372 ।

উদ্দীপকের (ii) নং অংশে একটি গুণোত্তর ধারার সপ্তম ও দশম পদ দেওয়া আছে। এই তথ্য ব্যবহার করে ধারাটি নির্ণয় করতে হবে।

ধরি, গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ \(a\) এবং সাধারণ অনুপাত \(r\)।
আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার \(n\) তম পদ \(T_n = ar^{n-1}\)।
প্রশ্নমতে, সপ্তম পদ \(T_7 = ar^{7-1} = ar^6 = \frac{\sqrt{2}}{27}\) .......(i)
এবং দশম পদ \(T_{10} = ar^{10-1} = ar^9 = \frac{\sqrt{2}}{81\sqrt{3}}\) .......(ii)
এখন, (ii) নং সমীকরণকে (i) নং সমীকরণ দ্বারা ভাগ করে পাই,
\( \frac{ar^9}{ar^6} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{81\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{2}}{27}} \)
\( r^3 = \frac{\sqrt{2}}{81\sqrt{3}} \times \frac{27}{\sqrt{2}} \)
\( r^3 = \frac{27}{81\sqrt{3}} \)
\( r^3 = \frac{1}{3\sqrt{3}} \)
\( r^3 = \frac{1}{(\sqrt{3})^3} \)
\( r = \frac{1}{\sqrt{3}} \)
\(r\) এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
\( a \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^6 = \frac{\sqrt{2}}{27} \)
\( a \left(\frac{1}{3^3}\right) = \frac{\sqrt{2}}{27} \)
\( a \left(\frac{1}{27}\right) = \frac{\sqrt{2}}{27} \)
\( a = \sqrt{2} \)

সুতরাং, ধারাটির প্রথম পদ \(a = \sqrt{2}\) এবং সাধারণ অনুপাত \(r = \frac{1}{\sqrt{3}}\)।
গুণোত্তর ধারাটি হবে:
প্রথম পদ \(T_1 = a = \sqrt{2}\)
দ্বিতীয় পদ \(T_2 = ar = \sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\)
তৃতীয় পদ \(T_3 = ar^2 = \sqrt{2} \times \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = \sqrt{2} \times \frac{1}{3} = \frac{\sqrt{2}}{3}\)
নির্ণেয় গুণোত্তর ধারাটি হলো \( \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{2}}{3} + \dots \)

দেওয়া আছে, গুণোত্তর ধারাটির প্রথম পদ (a) \( = \frac{1}{\sqrt{3}} \)

এবং পঞ্চম পদ (t₅) \( = 3\sqrt{3} \)

গুণোত্তর ধারার n তম পদের সূত্র, t_n \( = ar^{n-1} \) যেখানে r হলো সাধারণ অনুপাত।

সুতরাং, t₅ \( = ar^{5-1} = ar^4 \)

প্রশ্নমতে,

\( \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot r^4 = 3\sqrt{3} \)

\( r^4 = 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \)

\( r^4 = 3 \cdot 3 \)

\( r^4 = 9 \)

\( r^4 = (\pm \sqrt{3})^4 \)

\( r = \pm \sqrt{3} \)

এখন, সাধারণ অনুপাত r এর দুটি মান পাওয়া গেছে। সুতরাং, p, q, r এর দুটি সেট মান পাওয়া যাবে।

যখন সাধারণ অনুপাত (r) \( = \sqrt{3} \)

দ্বিতীয় পদ (p) \( = ar = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3} = 1 \)

তৃতীয় পদ (q) \( = ar^2 = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot (\sqrt{3})^2 = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot 3 = \sqrt{3} \)

চতুর্থ পদ (r) \( = ar^3 = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot (\sqrt{3})^3 = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot 3\sqrt{3} = 3 \)

যখন সাধারণ অনুপাত (r) \( = -\sqrt{3} \)

দ্বিতীয় পদ (p) \( = ar = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot (-\sqrt{3}) = -1 \)

তৃতীয় পদ (q) \( = ar^2 = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot (-\sqrt{3})^2 = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot 3 = \sqrt{3} \)

চতুর্থ পদ (r) \( = ar^3 = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot (-\sqrt{3})^3 = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot (-3\sqrt{3}) = -3 \)

অতএব, গুণোত্তর ধারাটির p, q ও r এর মান হলো: (1, \(\sqrt{3}\), 3) অথবা (-1, \(\sqrt{3}\), -3)।