উত্তরঃ
উদ্দীপকের চিত্রানুসারে, একটি সরল দোলকের ববকে সুতার সাহায্যে ঝুলানো হয়েছে। এই ববের দোলনের সময় যান্ত্রিক শক্তির সংরক্ষণশীলতা নীতি প্রযোজ্য। অর্থাৎ, ঘর্ষণ বা বায়ু প্রতিরোধের মতো বাহ্যিক শক্তি উপেক্ষা করা হলে, যে কোনো মুহূর্তে ববের গতিশক্তি ও স্থিতিশক্তির সমষ্টি সর্বদা ধ্রুব থাকে। প্রদত্ত সমস্যাটি গাণিতিক বিশ্লেষণের মাধ্যমে B বিন্দুতে ববের গতিশক্তি C বিন্দুর গতিশক্তির অর্ধেক হবে কিনা তা যাচাই করতে বলা হয়েছে।
প্রদত্ত তথ্য ও চিত্র থেকে প্রাপ্ত উপাত্তসমূহ হলো:
- ববের ভর \(m = 30 \text{ gm} = 0.03 \text{ kg}\)
- দোলক সুতার দৈর্ঘ্য \(L = OC = 1 \text{ m}\)
- AM (A বিন্দুর উল্লম্ব অক্ষ থেকে অনুভূমিক দূরত্ব) \( = 30 \text{ cm} = 0.3 \text{ m}\)
- BN (B বিন্দুর উল্লম্ব অক্ষ থেকে অনুভূমিক দূরত্ব) \( = 20 \text{ cm} = 0.2 \text{ m}\)
- অভিকর্ষজ ত্বরণ \(g = 9.8 \text{ m/s}^2\)
আমরা ধরে নিই যে, ববকে A বিন্দু থেকে স্থির অবস্থায় ছেড়ে দেওয়া হয়েছে, অথবা A বিন্দুটি দোলনের একটি প্রান্তিক অবস্থান। C বিন্দুকে বিভব শক্তির রেফারেন্স স্তর ধরা হলে, \(PE_C = 0\)।
A ও B বিন্দুর উচ্চতা নির্ণয়:
চিত্রানুসারে, M এবং N বিন্দুদ্বয় OC রেখার উপর অবস্থিত এবং AM ও BN হলো অনুভূমিক রেখা। সুতরাং, OMA এবং ONB হলো সমকোণী ত্রিভুজ।
A বিন্দুর ক্ষেত্রে: \(OA = L = 1 \text{ m}\) এবং \(AM = 0.3 \text{ m}\)।
অতএব, \(OM = \sqrt{OA^2 - AM^2} = \sqrt{(1)^2 - (0.3)^2} = \sqrt{1 - 0.09} = \sqrt{0.91} \text{ m}\)
C থেকে A বিন্দুর উচ্চতা \(h_A = OC - OM = L - OM = (1 - \sqrt{0.91}) \text{ m}\)
\(h_A \approx (1 - 0.953939) \text{ m} = 0.046061 \text{ m}\)
B বিন্দুর ক্ষেত্রে: \(OB = L = 1 \text{ m}\) এবং \(BN = 0.2 \text{ m}\)।
অতএব, \(ON = \sqrt{OB^2 - BN^2} = \sqrt{(1)^2 - (0.2)^2} = \sqrt{1 - 0.04} = \sqrt{0.96} \text{ m}\)
C থেকে B বিন্দুর উচ্চতা \(h_B = OC - ON = L - ON = (1 - \sqrt{0.96}) \text{ m}\)
\(h_B \approx (1 - 0.979796) \text{ m} = 0.020204 \text{ m}\)
C ও B বিন্দুতে গতিশক্তি নির্ণয়:
যান্ত্রিক শক্তির সংরক্ষণশীলতা নীতি অনুযায়ী, A বিন্দুতে মোট শক্তি = C বিন্দুতে মোট শক্তি। যেহেতু A বিন্দুতে বব স্থির অবস্থায় আছে (\(KE_A = 0\)),
\(PE_A + KE_A = PE_C + KE_C\)
\(mgh_A + 0 = 0 + KE_C\)
\(KE_C = mgh_A = 0.03 \text{ kg} \times 9.8 \text{ m/s}^2 \times (1 - \sqrt{0.91}) \text{ m}\)
\(KE_C \approx 0.03 \times 9.8 \times 0.046061 \text{ J} \approx 0.013544 \text{ J}\)
একইভাবে, A বিন্দুতে মোট শক্তি = B বিন্দুতে মোট শক্তি।
\(PE_A + KE_A = PE_B + KE_B\)
\(mgh_A + 0 = mgh_B + KE_B\)
\(KE_B = mgh_A - mgh_B = mg(h_A - h_B)\)
\(KE_B = 0.03 \text{ kg} \times 9.8 \text{ m/s}^2 \times [(1 - \sqrt{0.91}) - (1 - \sqrt{0.96})] \text{ m}\)
\(KE_B = 0.03 \text{ kg} \times 9.8 \text{ m/s}^2 \times (\sqrt{0.96} - \sqrt{0.91}) \text{ m}\)
\(KE_B \approx 0.03 \times 9.8 \times (0.979796 - 0.953939) \text{ J}\)
\(KE_B \approx 0.03 \times 9.8 \times 0.025857 \text{ J} \approx 0.007604 \text{ J}\)
যাচাই:
C বিন্দুর গতিশক্তির অর্ধেক: \(\frac{1}{2} KE_C = \frac{1}{2} \times 0.013544 \text{ J} \approx 0.006772 \text{ J}\)
পর্যবেক্ষণ করা যাচ্ছে যে, \(KE_B \approx 0.007604 \text{ J}\) এবং \(\frac{1}{2} KE_C \approx 0.006772 \text{ J}\)। যেহেতু B বিন্দুর গতিশক্তি C বিন্দুর গতিশক্তির অর্ধেকের সমান নয় (\(0.007604 \text{ J} \neq 0.006772 \text{ J}\)), সেহেতু প্রদত্ত বক্তব্যটি সঠিক নয়।
অতএব, গাণিতিক বিশ্লেষণ থেকে দেখা যায় যে, B বিন্দুতে ববের গতিশক্তি C বিন্দুর গতিশক্তির অর্ধেক হবে না।
