চিত্রে প্রদর্শিত বীমটির শিয়ার ফোর্স ও বেন্ডিং মোমেন্ট ডায়াগ্রাম অংকন করুন।

বীমটির শিয়ার ফোর্স (Shear Force) এবং বেন্ডিং মোমেন্ট (Bending Moment) ডায়াগ্রাম অঙ্কন করার জন্য প্রথমে সাপোর্ট রিয়েকশন (Support Reaction) নির্ণয় করতে হবে, তারপর বিভিন্ন সেকশনে শিয়ার ফোর্স ও বেন্ডিং মোমেন্টের মান গণনা করে ডায়াগ্রামগুলো আঁকতে হবে।

ধরা যাক, বীমের বাম প্রান্ত 'A' এবং সাপোর্ট বিন্দুগুলো 'B' ও 'E' । এছাড়াও UDL (Uniformly Distributed Load) এর শেষ প্রান্ত 'C' এবং ২০ kN লোড ও ১৫ kN-m মোমেন্ট যেখানে কাজ করছে সেই বিন্দুটি 'D' ।

• A: x = 0m
• B (সাপোর্ট \(R_B\)): x = 4m
• C (UDL এর শেষ): x = 4m + 3m = 7m
• D (পয়েন্ট লোড ও মোমেন্টের স্থান): x = 7m + 5m = 12m
• E (সাপোর্ট \(R_E\)): x = 12m + 4m = 16m

ধাপে ধাপে সমাধান:

১. সাপোর্ট রিয়েকশন (Support Reaction) নির্ণয়:

বীমটির উপরে মোট নিম্নমুখী লোড = UDL এর কারণে লোড + পয়েন্ট লোড

= \( (50 \text{ kN/m} \times 3 \text{ m}) + 20 \text{ kN} \)

= \( 150 \text{ kN} + 20 \text{ kN} = 170 \text{ kN} \)

ভার্টিক্যাল ফোর্সগুলোর সমষ্টি শূন্য ধরে (উপমুখী পজেটিভ):

\( \Sigma F_y = 0 \)

\( R_B + R_E - 150 - 20 = 0 \)

\( R_B + R_E = 170 \text{ kN} \) (সমীকরণ ১)

বিন্দু 'B' এর সাপেক্ষে মোমেন্টের সমষ্টি শূন্য ধরে (ঘড়ির কাঁটার দিকে মোমেন্ট পজেটিভ):

\( \Sigma M_B = 0 \)

UDL এর কারণে মোমেন্ট: \( (50 \times 3) \times (3/2) = 150 \times 1.5 = 225 \text{ kN-m} \)

২০ kN লোডের কারণে মোমেন্ট: \( 20 \times (12 - 4) = 20 \times 8 = 160 \text{ kN-m} \)

১৫ kN-m মোমেন্ট: \( -15 \text{ kN-m} \) (ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে)

\( R_E \) এর কারণে মোমেন্ট: \( -R_E \times (16 - 4) = -R_E \times 12 \)

\( 225 + 160 - 15 - 12 R_E = 0 \)

\( 370 - 12 R_E = 0 \)

\( 12 R_E = 370 \)

\( R_E = 370 / 12 = 30.833 \text{ kN} \)

সমীকরণ ১ এ \( R_E \) এর মান বসিয়ে:

\( R_B + 30.833 = 170 \)

\( R_B = 170 - 30.833 = 139.167 \text{ kN} \)

সুতরাং, রিয়েকশনগুলো হলো: \( R_B = 139.167 \text{ kN} \) (ঊর্ধ্বমুখী) এবং \( R_E = 30.833 \text{ kN} \) (ঊর্ধ্বমুখী)।

২. শিয়ার ফোর্স (Shear Force - SF) গণনা:

আমরা বাম দিক থেকে ডান দিকে যাব এবং ঊর্ধ্বমুখী ফোর্সকে পজেটিভ ধরব।

• SF at A (x=0m): \( V_A = 0 \)

• SF from A to B (0 < x < 4m): কোন লোড নেই, তাই SF শূন্য। \( V_x = 0 \)

• SF at B (x=4m):
  SF just left of B (\( V_{B-} \)): \( 0 \text{ kN} \)
  SF just right of B (\( V_{B+} \)): \( V_{B-} + R_B = 0 + 139.167 = +139.167 \text{ kN} \)

• SF from B to C (4m < x < 7m): UDL এর কারণে SF রৈখিকভাবে কমবে।
  UDL শুরু হওয়ার x=4m থেকে যেকোনো দূরত্ব y তে (UDL এর উপরে) SF: \( V_y = V_{B+} - (50 \times y) \)
  SF at C (just left, x=7m-): \( V_{C-} = V_{B+} - (50 \times 3) = 139.167 - 150 = -10.833 \text{ kN} \)
  SF যেখানে শূন্য (\( V_x = 0 \)) সেখানে: \( 139.167 - 50x = 0 \implies x = 139.167 / 50 = 2.783 \text{ m} \) (B থেকে)
  A থেকে এই বিন্দুর দূরত্ব: \( 4 + 2.783 = 6.783 \text{ m} \)

• SF from C to D (7m < x < 12m): কোন ভার্টিক্যাল লোড নেই, তাই SF ধ্রুবক।
  SF at D (just left, x=12m-): \( V_{D-} = V_{C-} = -10.833 \text{ kN} \)

• SF at D (x=12m): ২০ kN নিম্নমুখী পয়েন্ট লোড কাজ করছে।
  SF just right of D (\( V_{D+} \)): \( V_{D-} - 20 = -10.833 - 20 = -30.833 \text{ kN} \)

• SF from D to E (12m < x < 16m): কোন ভার্টিক্যাল লোড নেই, তাই SF ধ্রুবক।
  SF at E (just left, x=16m-): \( V_{E-} = V_{D+} = -30.833 \text{ kN} \)

• SF at E (x=16m): \( R_E \) আপওয়ার্ড রিয়েকশন কাজ করছে।
  SF just right of E (\( V_{E+} \)): \( V_{E-} + R_E = -30.833 + 30.833 = 0 \text{ kN} \)

৩. বেন্ডিং মোমেন্ট (Bending Moment - BM) গণনা:

আমরা বাম দিক থেকে ডান দিকে যাব এবং সাগিং (Sagging) মোমেন্টকে পজেটিভ ধরব।

• BM at A (x=0m): \( M_A = 0 \)

• BM at B (x=4m): \( M_B = 0 \) (সাপোর্ট বিন্দু)

• BM at SF=0 point (x=6.783m):
  \( M_{6.783m} = (R_B \times (6.783 - 4)) - (50 \times (6.783 - 4) \times (6.783 - 4) / 2) \)
  \( M_{6.783m} = (139.167 \times 2.783) - (25 \times 2.783^2) \)
  \( M_{6.783m} = 387.27 - 193.63 = +193.64 \text{ kN-m} \)

• BM at C (x=7m):
  \( M_C = (R_B \times (7 - 4)) - (50 \times 3 \times 1.5) \)
  \( M_C = (139.167 \times 3) - 225 \)
  \( M_C = 417.501 - 225 = +192.501 \text{ kN-m} \)

• BM at D (x=12m):
  BM just left of D (M_D-), (১৫ kN-m মোমেন্টের আগে):
  \( M_{D-} = (R_B \times (12 - 4)) - (50 \times 3 \times ((12 - 4) - 1.5)) \)
  \( M_{D-} = (139.167 \times 8) - (150 \times 6.5) \)
  \( M_{D-} = 1113.336 - 975 = +138.336 \text{ kN-m} \)
  D বিন্দুতে ১৫ kN-m ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে (Counter-Clockwise) মোমেন্ট কাজ করছে। এটি বিমকে হগিং (Hogging) করতে চায়, তাই এটি পজেটিভ মোমেন্টের মান হ্রাস করবে।
  BM just right of D (\( M_{D+} \)): \( M_{D-} - 15 = 138.336 - 15 = +123.336 \text{ kN-m} \)

  ডান দিক থেকে D বিন্দুর মোমেন্ট চেক করা যাক:

  
  \( M_D = R_E \times (16 - 12) = 30.833 \times 4 = +123.332 \text{ kN-m} \) (প্রায় মিলে যায়)

• BM at E (x=16m): \( M_E = 0 \) (সাপোর্ট বিন্দু)

৪. শিয়ার ফোর্স ডায়াগ্রাম (SFD) ও বেন্ডিং মোমেন্ট ডায়াগ্রাম (BMD) অঙ্কন:

এখানে ডায়াগ্রামগুলো সরাসরি আঁকা সম্ভব নয়, তবে ডায়াগ্রামের মূল বৈশিষ্ট্যগুলো বর্ণনা করা হলো:

শিয়ার ফোর্স ডায়াগ্রাম (SFD):

• A থেকে B (0-4m): শিয়ার ফোর্স শূন্য থাকবে।
• B বিন্দুতে (4m): \( R_B \) এর কারণে SF \( 0 \) থেকে \( +139.167 \text{ kN} \) পর্যন্ত উল্লম্বভাবে উপরে উঠবে।
• B থেকে C (4-7m): UDL এর কারণে SF রৈখিকভাবে \( +139.167 \text{ kN} \) থেকে কমে \( -10.833 \text{ kN} \) তে নেমে আসবে। এই সেকশনে x=6.783m (A থেকে) তে SF শূন্য হবে।
• C থেকে D (7-12m): SF \( -10.833 \text{ kN} \) এ ধ্রুবক থাকবে।
• D বিন্দুতে (12m): ২০ kN পয়েন্ট লোডের কারণে SF \( -10.833 \text{ kN} \) থেকে \( -30.833 \text{ kN} \) পর্যন্ত উল্লম্বভাবে নিচে নামবে।
• D থেকে E (12-16m): SF \( -30.833 \text{ kN} \) এ ধ্রুবক থাকবে।
• E বিন্দুতে (16m): \( R_E \) এর কারণে SF \( -30.833 \text{ kN} \) থেকে \( 0 \) তে উল্লম্বভাবে উপরে উঠবে।

বেন্ডিং মোমেন্ট ডায়াগ্রাম (BMD):

• A থেকে B (0-4m): মোমেন্ট শূন্য থাকবে।
• B বিন্দুতে (4m): মোমেন্ট শূন্য।
• B থেকে C (4-7m): UDL এর কারণে মোমেন্ট পরাবৃত্তাকার (Parabolic) কার্ভ অনুসরণ করবে। B তে \( 0 \) থেকে শুরু হয়ে A থেকে 6.783m দূরে (যেখানে SF শূন্য) সর্বোচ্চ \( +193.64 \text{ kN-m} \) তে পৌঁছাবে এবং C তে \( +192.501 \text{ kN-m} \) তে নেমে আসবে। কার্ভটি কনকেভ ডাউন (Concave Down) হবে।
• C থেকে D (7-12m): ধ্রুবক শিয়ার ফোর্সের কারণে মোমেন্ট রৈখিকভাবে \( +192.501 \text{ kN-m} \) থেকে কমে \( +138.336 \text{ kN-m} \) তে নেমে আসবে।
• D বিন্দুতে (12m): ১৫ kN-m ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকের মোমেন্টের কারণে বেন্ডিং মোমেন্ট ডায়াগ্রামে একটি ১৫ kN-m এর উল্লম্ব নেগেটিভ জাম্প (Negative Jump) দেখা যাবে। অর্থাৎ, \( +138.336 \text{ kN-m} \) থেকে কমে \( +123.336 \text{ kN-m} \) হবে।
• D থেকে E (12-16m): ধ্রুবক শিয়ার ফোর্সের কারণে মোমেন্ট রৈখিকভাবে \( +123.336 \text{ kN-m} \) থেকে কমে E তে \( 0 \) তে পৌঁছাবে।