চিত্রে, ∆ABC এর মধ্যমা BO কে D পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করি যেন BO=OD হয়। প্রমাণ কর যে, ABCD একটি সামান্তরিক।

সাধারণ নির্বচন : প্রমাণ করতে হবে যে, সামান্তরিকের যেকোনো দুটি সারিবদ্ধ কোণের সমদ্বিখণ্ডক পরস্পরের উপর লম্ব।

বিশেষ নির্বাচন : মনে করি, ABCD একটি সামান্তরিক। এর সারিবদ্ধ ∠ABC ও ∠BCD এর সমদ্বিখণ্ডক BO ও CO পরস্পর O বিন্দুতে মিলিত হয়েছে। প্রমাণ করতে হবে যে, BO এবং CO পরস্পরের উপর লম্ব। অর্থাৎ, ∠BOC = একটি সমকোণ।

(১) ABCD সামান্তরিকের AB ∥ CD এবং BC ছেদক।
∴ ∠ABC + ∠BCD = 180°
[সামান্তরিকের সারিবদ্ধ কোণগুলোর সমষ্টি ২ সমকোণ]

∴ ½∠ABC + ½∠BCD = 90°

অর্থাৎ, ∠OBC + ∠OCB = 90°
[∵ BO ও CO যথাক্রমে ∠ABC ও ∠BCD এর সমদ্বিখণ্ডক]

(২) এখন, ΔOBC এ,
∠OBC + ∠OCB + ∠BOC = 180°
[∵ ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 180° বা দুই সমকোণ]

∴ ∠BOC = 180° – (∠OBC + ∠OCB)
∴ ∠BOC = 180° – 90°
∴ ∠BOC = 90°

অতএব, OB এবং OC পরস্পরের উপর লম্ব। (প্রমাণিত)

অঙ্কন:

• DF কে বৃদ্ধি করি এবং CG ∥ DB আঁকি।

• DF-এর বৃদ্ধিতাংশ CG কে G বিন্দুতে ছেদ করে।

প্রমাণ: ছবির লেখাটি আমি ধাপে ধাপে সাজিয়ে দিলাম:

(১) ΔADF এবং ΔCGF-এ

• ∠AFD = ∠CFG [বিপরীত কোণ]
• AF = CF [∵ F, AC-এর মধ্যবিন্দু]
• ∠DAF = ∠FCG [∵ AD ∥ CG এবং AC এদের ছেদক]

অতএব, ΔADF ≅ ΔCGF [ত্রিভুজের কোণ-বাহু-কোণ উপপাদ্য]

⇒ DF = FG এবং AD = CG

(২) BD = AD; [∵ D, AB-এর মধ্যবিন্দু]
∴ BD = CG

⇒ BDGC একটি সামান্তরিক
[∵ BD = CG এবং BD ∥ CG]

∴ DG = BC এবং DG ∥ BC

অর্থাৎ, 2DF = BC এবং DF ∥ BC [∵ DF = FG]

⇒ DF = ½ BC এবং DF ∥ BC (প্রমাণিত)

AB ভূমিবিশিষ্ট দুইটি
ত্রিভুজ হলো ∆ABC ও
$∆$ABD

বিশেষ নির্বচন: ABCD একটি চতুর্ভুজ যার AC ও BD দুইটি অসমান কর্ণ এবং এর যেকোনো দুইটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ। প্রমাণ করতে হবে যে, AB = CD এবং AD = BC

প্রমাণ: ধাপ

(১) △ABC ও △ADC-এর,
AB=CD,AC সাধারণ বাহু।

∠BAC=∠ACD
[∵ AB∥CD এবং AC এদের ছেদক]

∴ △ABC≅△ADC
  [ত্রিভুজের বাহু-কোণ-বাহু উপপাদ্য]

অতএব, AD=BC এবং ∠ACB=∠DAC

কিন্তু ∠ACB ও ∠DAC হলো AD ও BC বাহুদ্বয়ের
AC ছেদক দ্বারা উৎপন্ন একান্তর কোণ।

∴ AD∥BC

অতএব, AD=BC এবং AD∥BC (প্রমাণিত)।

দেখাতে হবে  যে, OA=OC এবং OB=OD।

প্রমাণ : ধাপ

(১) যেহেতু AB ও DC রেখা সমান্তরাল
এবং AC ও BD তাদের দুটি ছেদক,

সেহেতু ∠BAC=∠ACD  [একান্তর কোণ]

∴ ∠OAB=∠OCD

এবং ∠BDC=∠ABD  [একান্তর কোণ]

∴ ∠OBA=∠ODC

(২) △AOB ও △COD-এর,

∠OAB=∠OCD, ∠OBA=∠ODC
এবং AB=DC

∴ △AOB≅△COD;  [ত্রিভুজের কোণ-বাহু-কোণ উপপাদ্য]

অতএব, OA=OC এবং OB=OD (প্রমাণিত)।

দেওয়া আছে, ∠BAD=70∘

আমরা জানি, সামান্তরিকের সন্নিহিত কোণগুলোর সমষ্টি 180∘।

∴∠BAD+∠ABC=180∘

অথবা, 70∘+∠ABC=180∘
অথবা, ∠ABC=180∘−70∘

∴∠ABC=110∘(Ans.)