চিত্র :

Ans. 29.70 (প্রায়)

প্রদত্ত জ্যামিতিক চিত্রের কোণসমূহের পারস্পরিক সম্পর্ক (যেমন: একান্তর কোণ, সম্পূরক কোণ বা ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি \(১৮০^\circ\)) প্রয়োগ করে \(\angle CAD\) এর মান নির্ণয় করা হয়।

প্রমাণ:

চিত্রানুসারে, \(AD \perp CD\) এবং \(\triangle ADC\) ও \(\triangle ABD\) দুটি সমকোণী ত্রিভুজ, যেখানে \(\angle ADC = \angle ADB = 90^\circ\)।

সমকোণী ত্রিভুজ \(\triangle ABD\) হতে পাই,

\(\tan \angle ABD = \frac{AD}{BD}\)

বা, \(\sqrt{3} = \frac{AD}{BD}\)

বা, \(BD = \frac{AD}{\sqrt{3}}\) ......... (i)

আবার, সমকোণী ত্রিভুজ \(\triangle ACD\) হতে পাই,

\(\tan \angle ACD = \frac{AD}{CD}\)

বা, \(\frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{AD}{CD}\)

বা, \(CD = \frac{\sqrt{3}}{2} AD\) ......... (ii)

চিত্র হতে পাই,

\(BC = CD - BD\)

সমীকরণ (i) ও (ii) হতে \(BD\) ও \(CD\)-এর মান বসিয়ে পাই,

\(BC = \frac{\sqrt{3}}{2} AD - \frac{AD}{\sqrt{3}}\)

বা, \(BC = AD \left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{\sqrt{3}}\right)\)

বা, \(BC = AD \left(\frac{3 - 2}{2\sqrt{3}}\right)\)

বা, \(BC = AD \left(\frac{1}{2\sqrt{3}}\right)\)

বা, \(\frac{BC}{AD} = \frac{1}{2\sqrt{3}}\)

\(\therefore BC : AD = 1 : 2\sqrt{3}\) (দেখানো হলো)

সমাধান:

ধরি, খুঁটিটি মাটি থেকে \( h \) মিটার উঁচুতে ভেঙেছিল।

দেওয়া আছে,

খুঁটির মোট উচ্চতা = \( 18 \) মিটার

অতএব, ভাঙা অংশের দৈর্ঘ্য = \( (18 - h) \) মিটার

উৎপন্ন কোণ, \( \theta = 30^\circ \)

সমকোণী ত্রিভুজ গঠিত হওয়ার শর্তানুসারে,

\( \sin 30^\circ = \frac{\text{লম্ব}}{\text{অতিভুজ}} \)

বা, \( \sin 30^\circ = \frac{h}{18 - h} \)

বা, \( \frac{1}{2} = \frac{h}{18 - h} \)

বা, \( 2h = 18 - h \)

বা, \( 2h + h = 18 \)

বা, \( 3h = 18 \)

বা, \( h = \frac{18}{3} \)

বা, \( h = 6 \)

উত্তর: খুঁটিটি মাটি থেকে \( 6 \) মিটার উঁচুতে ভেঙেছিল।

$$\begin{gathered} Let us draw the required picture: \\ Here, AB is the height of the watch tower AB=h \\ For △ABC \\ \therefore \tan 60°=\frac{AB}{BC}=\frac{h}{x} \\ =\sqrt{3}=\frac{h}{x} [\because \tan 60°=\sqrt{3}] \\ =h=x\sqrt{3} \\ \therefore x=\frac{h}{\sqrt{3}} \\ For △ABD \\ Again, \tan 45°=\frac{AB}{BD}=\frac{AB}{DC+BC}=\frac{h}{18+x} \\ =1=\frac{h}{18+x} [\because \tan 45°=1] \\ =h=18+x \\ =h=18+\frac{h}{\sqrt{3}} \\ =h-\frac{h}{\sqrt{3}}=18 \\ =h(1-\frac{1}{\sqrt{3}})=18 \\ =h(\sqrt{3}-1)=18\sqrt{3} \\ \therefore h=\frac{18\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}=42.58m \end{gathered}$$

প্রশ্নে বলা হচ্ছে, 10 টা এবং 10.02 টায় একটি বেলনের 25° হতে লম্ব বরাবর 60° কোণে উপরের দিকে উঠছে। উন্নতি বিন্দু হতে পর্যবেক্ষণ বিন্দুর দূরত্ব 300 মিটার হলে বেলনের উর্ধ্বগতিবেগ কত?

Let us depict a image based upon question

Let, again CD = h₁ & AC = h₂

The balloon's height at 10.00 am, $\tan \theta = \frac{CD}{BC}$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \tan 25° =\frac{h_1}{300} \\ \Rightarrow h_1 = 300 \times \tan 25° \\ \Rightarrow h_1 =300 \times 0.4663 [U\sin g calculator] \\ \Rightarrow h_1 =139.89 meter \\ Again, the balloon\text{'}s height at 10.02 am, \tan \theta = \frac{AC}{BC} = \frac{h_2}{300} \\ \Rightarrow \tan 60° =\frac{h_2}{300} \\ \Rightarrow h_2 = 300 \times \tan 60° \\ \Rightarrow h_2 = \left(300 \times \sqrt{3}\right)m \\ \Rightarrow h_2 =\left(300 \times 1.732\right)meter \\ \therefore h_2 =519.615 meter \\ \therefore The difference of height = 519.615 - 139.89 = 379.725 meter \\ Taken time to cover this dis\tan ce by the balloon = 10.02 - 10.00 \\ = 2 minutes = 120 seconds \\ We know, velocity, \frac{Dis\tan ce}{Time} \\ \Rightarrow Velocity = \frac{379.725}{120} m{s}^{-1} \\ \therefore Velocity= 3.1643 m{s}^{-1} \\ \therefore Upward speed of balloon is 3.1643 m{s}^{-1} \end{gathered}$$