উত্তরঃ
না, চৌবাচ্চার বাকি অর্ধেক পানি নিষ্কাশন করতে পাম্পটির একই সময় লাগবে না। গাণিতিক বিশ্লেষণের মাধ্যমে এটি প্রমাণ করা যায় যে, বাকি অর্ধেক পানি নিষ্কাশন করতে পাম্পটির প্রথম অর্ধেকের চেয়ে বেশি সময় লাগবে। এর কারণ হলো, চৌবাচ্চার উপরের দিকের পানি নিষ্কাশন করতে তুলনামূলকভাবে কম উচ্চতায় তুলতে হয়, যেখানে নিচের দিকের পানি নিষ্কাশন করতে গড় উচ্চতা বেশি হয়, যার ফলে বেশি কাজ সম্পন্ন করতে হয়।
চৌবাচ্চা থেকে পানি নিষ্কাশন করতে পাম্পকে অভিকর্ষ বলের বিরুদ্ধে কাজ করতে হয়। একটি তরল স্তরের ক্ষুদ্র অংশকে (mass \(dm\)) চৌবাচ্চার তলদেশ থেকে \(y\) উচ্চতায় উত্তোলন করে চৌবাচ্চার শীর্ষ (মোট উচ্চতা \(H\)) পর্যন্ত নিয়ে যেতে যে কাজ করতে হয়, তা হলো \(dW = dm \cdot g \cdot (H-y)\)। এখানে, \(dm = \rho \pi r^2 dy\), যেখানে \(\rho\) পানির ঘনত্ব, \(r\) চৌবাচ্চার ব্যাসার্ধ এবং \(dy\) ক্ষুদ্র উচ্চতা।
প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী, চৌবাচ্চার মোট উচ্চতা \(H = 20\) মিটার এবং ব্যাসার্ধ \(r = 2\) মিটার।
১. প্রথম অর্ধেক পানি নিষ্কাশনে প্রয়োজনীয় কাজ (\(W_1\)):
প্রথম অর্ধেক পানি বলতে উপরের অর্ধেক বোঝানো হয়েছে, অর্থাৎ \(y = H/2\) থেকে \(y = H\) পর্যন্ত পানি।
\[ W_1 = \int_{H/2}^{H} \rho \pi r^2 g (H-y) dy \]
\[ W_1 = \rho \pi r^2 g \left[ Hy - \frac{y^2}{2} \right]_{H/2}^{H} \]
\[ W_1 = \rho \pi r^2 g \left[ \left( H^2 - \frac{H^2}{2} \right) - \left( H \frac{H}{2} - \frac{(H/2)^2}{2} \right) \right] \]
\[ W_1 = \rho \pi r^2 g \left[ \frac{H^2}{2} - \left( \frac{H^2}{2} - \frac{H^2}{8} \right) \right] \]
\[ W_1 = \rho \pi r^2 g \frac{H^2}{8} \]
২. বাকি অর্ধেক পানি নিষ্কাশনে প্রয়োজনীয় কাজ (\(W_2\)):
বাকি অর্ধেক পানি বলতে নিচের অর্ধেক বোঝানো হয়েছে, অর্থাৎ \(y = 0\) থেকে \(y = H/2\) পর্যন্ত পানি।
\[ W_2 = \int_{0}^{H/2} \rho \pi r^2 g (H-y) dy \]
\[ W_2 = \rho \pi r^2 g \left[ Hy - \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{H/2} \]
\[ W_2 = \rho \pi r^2 g \left[ \left( H \frac{H}{2} - \frac{(H/2)^2}{2} \right) - (0-0) \right] \]
\[ W_2 = \rho \pi r^2 g \left[ \frac{H^2}{2} - \frac{H^2}{8} \right] \]
\[ W_2 = \rho \pi r^2 g \frac{3H^2}{8} \]
সুতরাং, আমরা পাই \(W_2 = 3 \cdot \left( \rho \pi r^2 g \frac{H^2}{8} \right) = 3 W_1\)। এর অর্থ, চৌবাচ্চার নিচের অর্ধেক পানি নিষ্কাশন করতে উপরের অর্ধেক পানি নিষ্কাশনের চেয়ে তিনগুণ বেশি কাজ করতে হয়।
পাম্পের কর্মদক্ষতা স্থির থাকলে, এটি নির্দিষ্ট সময়ে একটি নির্দিষ্ট পরিমাণ কাজ করতে পারে, অর্থাৎ পাম্পের কার্যকর ক্ষমতা (\(P_{eff}\)) স্থির থাকে। আমরা জানি, ক্ষমতা \(P_{eff} = \frac{\text{কাজ}}{\text{সময়}}\), বা সময় \((t) = \frac{\text{কাজ}}{P_{eff}}\)। যেহেতু \(P_{eff}\) স্থির, তাই সময় কাজের সাথে সমানুপাতিক।
প্রথম অর্ধেক পানি নিষ্কাশন করতে সময় লাগে \(t_1 = 20\) মিনিট।
বাকি অর্ধেক পানি নিষ্কাশন করতে প্রয়োজনীয় সময় \(t_2\) হবে:
\[ t_2 = \frac{W_2}{W_1} \cdot t_1 = \frac{3W_1}{W_1} \cdot t_1 = 3 \cdot t_1 \]
\[ t_2 = 3 \cdot 20 \text{ মিনিট} = 60 \text{ মিনিট} \]
অতএব, চৌবাচ্চার বাকি অর্ধেক পানি নিষ্কাশন করতে পাম্পটির 60 মিনিট সময় লাগবে, যা প্রথম অর্ধেকের জন্য নেওয়া সময়ের (20 মিনিট) চেয়ে তিনগুণ বেশি। তাই, পাম্পটির একই সময় লাগবে না।
