জিসানের উক্তির সঠিকতা গাণিতিক বিশ্লেষণের মাধ্যমে নির্ণয় কর।

উত্তরঃ

জিসানের উক্তিটি গাণিতিক বিশ্লেষণের মাধ্যমে সঠিক বলে প্রমাণিত হয়। কোনো স্থানের অভিকর্ষজ ত্বরণ (gravitational acceleration) পরিবর্তিত হলে সেখানে একটি দোলকের (pendulum) পর্যায়কালও (time period) পরিবর্তিত হয়। উদ্দীপকে বর্ণিত সেকেন্ড দোলকটি পাহাড়ের চূড়া ও খনির গভীরে উভয় স্থানে ঘণ্টায় 30s ধীরে চলার অর্থ হলো, এই স্থানগুলোতে অভিকর্ষজ ত্বরণ ভূপৃষ্ঠের অভিকর্ষজ ত্বরণের চেয়ে কম এবং উভয় স্থানে অভিকর্ষজ ত্বরণের মান সমান। এই পরিবর্তিত ত্বরণের মান ব্যবহার করে পাহাড়ের উচ্চতা নির্ণয় করা সম্ভব।

একটি সেকেন্ড দোলকের ভূপৃষ্ঠে পর্যায়কাল \(T_0 = 2\) সেকেন্ড। উদ্দীপক অনুসারে, পাহাড়ের চূড়া ও খনির গভীরে দোলকটি প্রতি ঘণ্টায় 30 সেকেন্ড ধীরে চলে। অর্থাৎ, 3600 সেকেন্ডে দোলকটির পর্যায়কাল এমনভাবে পরিবর্তিত হয়েছে যে এটি 3600 সেকেন্ডের পরিবর্তে \(3600 + 30 = 3630\) সেকেন্ড সময় নেয়। যেহেতু একটি সেকেন্ড দোলক 3600 সেকেন্ডে \(3600/2 = 1800\)টি পূর্ণ দোলন সম্পন্ন করে, তাই পরিবর্তিত পর্যায়কাল \(T'\) হবে:

\[T' = \frac{3630 \text{ s}}{1800 \text{ দোলন}} = \frac{121}{60} \text{ s}\]

দোলকের পর্যায়কালের সূত্র \(T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}\) থেকে আমরা জানি যে, পর্যায়কাল অভিকর্ষজ ত্বরণের বর্গমূলের ব্যস্তানুপাতিক (inversely proportional)। অর্থাৎ, \(g \propto \frac{1}{T^2}\)। যদি ভূপৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণ \(g_0\) এবং পরিবর্তিত স্থানে \(g'\) হয়, তাহলে:

\[\frac{g'}{g_0} = \left(\frac{T_0}{T'}\right)^2\] \[\frac{g'}{g_0} = \left(\frac{2 \text{ s}}{121/60 \text{ s}}\right)^2 = \left(\frac{120}{121}\right)^2\]

আমরা জানি যে, ভূপৃষ্ঠ থেকে \(h\) উচ্চতায় অভিকর্ষজ ত্বরণ \(g_h\) এর সূত্র হলো:

\[g_h = g_0 \frac{R^2}{(R+h)^2}\]

যেখানে \(R\) পৃথিবীর ব্যাসার্ধ। যেহেতু পাহাড়ের চূড়ায় অভিকর্ষজ ত্বরণ \(g'\) এর সমান, আমরা লিখতে পারি:

\[\frac{g'}{g_0} = \frac{R^2}{(R+h)^2}\]

পূর্বের গণনা থেকে প্রাপ্ত \(\frac{g'}{g_0}\) এর মান ব্যবহার করে:

\[\left(\frac{120}{121}\right)^2 = \frac{R^2}{(R+h)^2}\]

উভয় পক্ষে বর্গমূল করে পাই:

\[\frac{120}{121} = \frac{R}{R+h}\] \[120(R+h) = 121R\] \[120R + 120h = 121R\] \[120h = 121R - 120R\] \[120h = R\] \[h = \frac{R}{120}\]

উদ্দীপকে পৃথিবীর ব্যাসার্ধ \(R = 6.4 \times 10^6 \text{ m}\) দেওয়া আছে। এই মান ব্যবহার করে পাহাড়ের উচ্চতা \(h\) নির্ণয় করা যায়:

\[h = \frac{6.4 \times 10^6 \text{ m}}{120} = \frac{6400000 \text{ m}}{120} = \frac{640000 \text{ m}}{12} = \frac{160000 \text{ m}}{3}\] \[h \approx 53333.33 \text{ m} \approx 53.33 \text{ km}\]

যেহেতু প্রদত্ত তথ্যাবলি ব্যবহার করে গাণিতিক বিশ্লেষণের মাধ্যমে পাহাড়ের উচ্চতা \(h\) এর একটি সুনির্দিষ্ট মান নির্ণয় করা সম্ভব, তাই জিসানের উক্তিটি সম্পূর্ণরূপে সঠিক।